El método de Ridders

En el análisis numérico , el método de Ridders es un algoritmo de búsqueda de raíces basado en el método de la posición falsa y en el uso de una función exponencial para aproximar sucesivamente una raíz de una función continua . El método se debe a C. Ridders. ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$

El método de Ridders es más simple que el método de Muller o el método de Brent , pero con un rendimiento similar. ^[3] La fórmula siguiente converge cuadráticamente cuando la función se comporta bien, lo que implica que la cantidad de dígitos significativos adicionales encontrados en cada paso aproximadamente se duplica; pero la función debe evaluarse dos veces para cada paso, por lo que el orden general de convergencia del método con respecto a las evaluaciones de la función en lugar de con respecto al número de iteraciones es . Si la función no se comporta bien, la raíz permanece entre corchetes y la longitud del intervalo de entre corchetes al menos se reduce a la mitad en cada iteración, por lo que la convergencia está garantizada. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Método

Dados dos valores de la variable independiente, y , que están en dos lados diferentes de la raíz que se busca de modo que , el método comienza evaluando la función en el punto medio . Luego se encuentra la única función exponencial tal que la función satisface . Específicamente, el parámetro se determina mediante ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle f(x_{0})f(x_{2})<0}$ ${\displaystyle x_{1}=(x_{0}+x_{2})/2}$ ${\displaystyle e^{ax}}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)e^{ax}}$ ${\displaystyle h(x_{1})=(h(x_{0})+h(x_{2}))/2}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle e^{a(x_{1}-x_{0})}={\frac {f(x_{1})-\operatorname {sign} [f(x_{0})]{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.}$

Luego se aplica el método de posición falsa a los puntos y , lo que genera un nuevo valor entre y , ${\displaystyle (x_{0},h(x_{0}))}$ ${\displaystyle (x_{2},h(x_{2}))}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle x_{3}=x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {\operatorname {sign} [f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}$

que se utilizará como uno de los dos valores de corchetes en el siguiente paso de la iteración. El otro valor de corchetes se toma como if (que será verdadero en el caso de buen comportamiento), o de lo contrario, cualquiera de y tenga un valor de función de signo opuesto a El procedimiento iterativo puede finalizar cuando se obtiene una precisión objetivo. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle f(x_{1})f(x_{3})<0}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle f(x_{3}).}$

Referencias

1. Ridders, C. (1979). "Un nuevo algoritmo para calcular una raíz única de una función continua real". IEEE Transactions on Circuits and Systems . 26 (11): 979–980. doi :10.1109/TCS.1979.1084580.
2. Kiusalaas, Jaan (2010). Métodos numéricos en ingeniería con Python (2.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 146-150. ISBN 978-0-521-19132-6.
3. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 9.2.1. Método de Ridders". Recetas numéricas : el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.