Richard Streit Hamilton (10 de enero de 1943 - 29 de septiembre de 2024) fue un matemático estadounidense que se desempeñó como profesor Davies de Matemáticas en la Universidad de Columbia .
Hamilton es conocido por sus contribuciones al análisis geométrico y a las ecuaciones diferenciales parciales , y en particular por desarrollar la teoría del flujo de Ricci . Hamilton introdujo el flujo de Ricci en 1982 y, durante las décadas siguientes, desarrolló una red de resultados e ideas para utilizarlo para demostrar la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización desde el campo de la topología geométrica .
El trabajo de Hamilton sobre el flujo de Ricci fue reconocido con un Premio Oswald Veblen , un Premio de Investigación Clay , un Premio Leroy P. Steele por Contribución Seminal a la Investigación y un Premio Shaw . Grigori Perelman se basó en el programa de investigación de Hamilton, demostrando las conjeturas de Poincaré y de geometrización en 2003. Perelman recibió un Premio del Milenio por resolver la conjetura de Poincaré, pero lo rechazó, considerando que su contribución no era mayor que la de Hamilton.
Hamilton nació en Cincinnati, Ohio , el 10 de enero de 1943. Recibió su licenciatura en 1963 de la Universidad de Yale y su doctorado en 1966 de la Universidad de Princeton . Robert Gunning supervisó su tesis. [1]
El primer puesto permanente de Hamilton fue en la Universidad de Cornell . Allí, interactuó con James Eells , quien junto con Joseph Sampson habían publicado recientemente un artículo seminal que presentaba el flujo de calor del mapa armónico . Hamilton se inspiró para formular una versión del trabajo de Eells y Sampson que trataba sobre la deformación de las métricas de Riemann . Esto se convirtió en el flujo de Ricci . Después de publicar su artículo inaugural sobre el tema, que rápidamente fue reconocido como un gran avance, Hamilton se trasladó a la Universidad de California en San Diego a mediados de la década de 1980, uniéndose a Richard Schoen y Shing-Tung Yau en el grupo que trabajaba en análisis geométrico . En 1998, Hamilton se convirtió en el Profesor Davies de Matemáticas en la Universidad de Columbia , donde permaneció durante el resto de su carrera. [1] [2] En 2022, Hamilton se unió además a la Universidad de Hawái en Mānoa como profesor adjunto. [3]
Las contribuciones matemáticas de Hamilton se encuentran principalmente en el campo de la geometría diferencial y más específicamente en el análisis geométrico . Es más conocido por haber descubierto el flujo de Ricci y por desarrollar un programa de investigación destinado a la prueba de la conjetura de geometrización de William Thurston , que contiene la conocida conjetura de Poincaré como un caso especial. En 2003, Grigori Perelman introdujo nuevas ideas en el programa de investigación de Hamilton y completó una prueba de la conjetura de geometrización. En marzo de 2010, el Instituto de Matemáticas Clay , que había incluido la conjetura de Poincaré entre sus Problemas del Premio del Milenio , otorgó a Perelman un millón de dólares por su prueba de la conjetura de 2003. [4] En julio de 2010, Perelman rechazó el premio y el dinero del premio, diciendo que creía que su contribución a la prueba de la conjetura de Poincaré no era mayor que la de Hamilton. [5] [6]
En 1996, Hamilton recibió el Premio Oswald Veblen en Geometría "en reconocimiento a su trabajo reciente y continuo para descubrir las propiedades geométricas y analíticas de las singularidades de la ecuación de flujo de Ricci y sistemas relacionados de ecuaciones diferenciales". [7] En 2003 recibió el Premio de Investigación Clay por "su introducción de la ecuación de flujo de Ricci y su desarrollo en una de las herramientas más poderosas en geometría y topología". [8] Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1999 [9] [10] y de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 2003. [11] En 2009, recibió el Premio Leroy P. Steele por Contribución Seminal a la Investigación de la Sociedad Matemática Estadounidense por su artículo innovador "profundamente original" Three-variedades con curvatura positiva de Ricci , en el que introdujo y analizó por primera vez el flujo de Ricci. [H82b] [12] En 2011, el premio Shaw de un millón de dólares se dividió equitativamente entre Hamilton y Demetrios Christodoulou "por sus trabajos altamente innovadores sobre ecuaciones diferenciales parciales no lineales en geometría lorentziana y riemanniana y sus aplicaciones a la relatividad general y la topología". [13] [14] En 2024, él y Andrew Wiles recibieron el Premio de por vida de Ciencias Básicas en Matemáticas en el Congreso Internacional de Ciencias Básicas . [15]
Hamilton murió el 29 de septiembre de 2024, a la edad de 81 años. [16]
Hamilton fue autor de cuarenta y seis artículos de investigación, la mayoría de los cuales estaban en el campo de los flujos geométricos .
En 1986, Peter Li y Shing-Tung Yau descubrieron un nuevo método para aplicar el principio del máximo para controlar las soluciones de la ecuación del calor . [17] Sus resultados toman la forma de afirmar la no negatividad de ciertas combinaciones de derivadas parciales de una solución positiva de la ecuación del calor. Estas desigualdades, conocidas como desigualdades diferenciales de Harnack o desigualdades de Li-Yau , son útiles ya que pueden integrarse a lo largo de trayectorias para comparar los valores de la solución en dos puntos cualesquiera del espacio-tiempo. En 1993, Hamilton demostró que los cálculos de Li y Yau podían extenderse, mostrando que su desigualdad diferencial de Harnack era una consecuencia de una desigualdad más fuerte que afirma la no negatividad de una función matricial . [H93a] Su resultado requirió la suposición más fuerte de que la variedad riemanniana cerrada subyacente tiene una curvatura seccional no negativa y un tensor de Ricci paralelo (como el toro plano o la métrica de Fubini-Study en el espacio proyectivo complejo ). Estas desigualdades matriciales a veces se conocen como desigualdades de Li–Yau–Hamilton . [18]
Hamilton también descubrió que los cálculos de Li y Yau eran directamente transferibles para derivar desigualdades de Harnack para la curvatura escalar a lo largo de un flujo de Ricci de curvatura positiva en una variedad cerrada bidimensional. [H88] Con más esfuerzo, pudo formular un análogo de su estimación matricial en el caso del tensor de curvatura de Riemann a lo largo de un flujo de Ricci en dimensiones generales, siempre que el operador de curvatura no sea negativo. [H93b] Como corolario algebraico importante, los valores de la curvatura escalar en dos puntos diferentes del espacio-tiempo se pueden comparar. Este hecho se utiliza ampliamente en el estudio posterior de Hamilton y Perelman sobre el flujo de Ricci. [18] [19]
Posteriormente, Hamilton adaptó su estimación de Li-Yau para el flujo de Ricci al contexto del flujo de curvatura media , que es ligeramente más simple ya que la geometría está gobernada por la segunda forma fundamental , que tiene una estructura más simple que el tensor de curvatura de Riemann. [H95c] El teorema de Hamilton, que requiere una convexidad estricta, es naturalmente aplicable a ciertas singularidades del flujo de curvatura media debido a las estimaciones de convexidad de Gerhard Huisken y Carlo Sinestrari. [20] [21] [18]
En 1956, John Nash resolvió el problema de la incrustación isométrica suave de variedades de Riemann en el espacio euclidiano. [22] El núcleo de su prueba fue un novedoso resultado de "pequeña perturbación", que mostraba que si una métrica de Riemann podía incrustarse isométricamente de una determinada manera, entonces cualquier métrica de Riemann cercana también podía incrustarse isométricamente. Este resultado recuerda mucho a un teorema de función implícita , y muchos autores han intentado poner la lógica de la prueba en el contexto de un teorema general. Dichos teoremas se conocen ahora como teoremas de Nash-Moser . [23]
En 1982, Hamilton publicó su formulación del razonamiento de Nash, aplicando el teorema al contexto de espacios de Fréchet dóciles ; el uso fundamental de Nash de restringir la transformada de Fourier para regularizar funciones fue abstraído por Hamilton al contexto de secuencias exponencialmente decrecientes en espacios de Banach . [H82a] Su formulación ha sido ampliamente citada y utilizada en el tiempo posterior. Él mismo la utilizó para demostrar un teorema general de existencia y unicidad para ecuaciones de evolución geométrica; el teorema de función implícita estándar no se aplica a menudo en tales contextos debido a las degeneraciones introducidas por la invariancia bajo la acción del grupo de difeomorfismos . [H82b] En particular, la buena formulación del flujo de Ricci se desprende del resultado general de Hamilton. Aunque Dennis DeTurck dio una prueba más simple en el caso particular del flujo de Ricci, el resultado de Hamilton se ha utilizado para algunos otros flujos geométricos para los que el método de DeTurck es inaccesible. [18]
En 1964, James Eells y Joseph Sampson iniciaron el estudio del flujo de calor del mapa armónico , utilizando un teorema de convergencia para el flujo para mostrar que cualquier mapa suave de una variedad cerrada a una variedad cerrada de curvatura no positiva puede deformarse a un mapa armónico . En 1975, Hamilton consideró el problema de valor límite correspondiente para este flujo, demostrando un resultado análogo al de Eells y Sampson para la condición de Dirichlet y la condición de Neumann . [H75] La naturaleza analítica del problema es más delicada en este contexto, ya que la aplicación clave de Eells y Sampson del principio máximo a la fórmula parabólica de Bochner no se puede llevar a cabo de manera trivial, debido al hecho de que el tamaño del gradiente en el límite no está controlado automáticamente por las condiciones de límite. [24]
Mediante un procedimiento limitante, Richard Schoen y Shing-Tung Yau utilizaron el teorema de Hamilton para demostrar que cualquier mapa de energía finita desde una variedad riemanniana completa a una variedad riemanniana cerrada de curvatura no positiva puede deformarse en un mapa armónico de energía finita. [25] Con el uso de tales mapas, pudieron derivar una serie de corolarios puramente geométricos, como restricciones en la topología de subconjuntos abiertos precompactos con borde simplemente conexo dentro de variedades riemannianas completas de curvatura de Ricci no negativa . [24]
En 1986, Hamilton y Michael Gage aplicaron el teorema de Nash-Moser de Hamilton y el resultado de bien planteado para ecuaciones parabólicas para probar el bien planteado para el flujo de curvatura media ; consideraron el caso general de una familia de un parámetro de inmersiones de una variedad cerrada en una variedad riemanniana suave. [GH86] Luego, se especializaron en el caso de inmersiones del círculo en el plano euclidiano , que es el contexto más simple para el flujo de acortamiento de curvas . Usando el principio máximo aplicado a la distancia entre dos puntos en una curva, probaron que si la inmersión inicial es una incrustación, entonces todas las inmersiones futuras en el flujo de curvatura media también son incrustaciones. Además, la convexidad de las curvas se conserva en el futuro. [26]
El resultado principal de Gage y Hamilton es que, dado cualquier círculo suavemente incrustado en el plano que es convexo, el flujo de curvatura media correspondiente existe durante una cantidad finita de tiempo y, a medida que el tiempo se acerca a su valor máximo, las curvas se vuelven asintóticamente cada vez más pequeñas y circulares. [GH86] Hicieron uso de resultados previos de Gage, así como algunos resultados especiales para curvas, como la desigualdad de Bonnesen . [26]
En 1987, Matthew Grayson demostró un resultado complementario, mostrando que para cualquier círculo suavemente incrustado en el plano, el flujo de curvatura media correspondiente eventualmente se vuelve convexo. [27] En combinación con el resultado de Gage y Hamilton, uno tiene esencialmente una descripción completa del comportamiento asintótico del flujo de curvatura media de círculos incrustados en el plano. Este resultado, a veces conocido como el teorema de Gage-Hamilton-Grayson , dice que el flujo de acortamiento de la curva proporciona medios sistemáticos y geométricamente definidos para deformar un círculo arbitrario incrustado en el plano euclidiano en un círculo redondo. [26]
La interpretación moderna de los resultados de Gage-Hamilton y de Grayson suele considerar ambos escenarios a la vez, sin necesidad de demostrar que curvas arbitrarias se vuelven convexas y estudiar por separado el comportamiento de las curvas convexas. Sus resultados también se pueden extender a escenarios distintos del flujo de curvatura media. [28]
Hamilton extendió el principio máximo para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas al contexto de 2-tensores simétricos que satisfacen una ecuación diferencial parcial parabólica. [H82b] También lo puso en el contexto general de una sección dependiente de parámetros de un fibrado vectorial sobre una variedad cerrada que satisface una ecuación de calor, dando formulaciones tanto fuertes como débiles. [H86] [18]
En parte debido a estos desarrollos técnicos fundamentales, Hamilton pudo proporcionar una comprensión esencialmente completa de cómo el flujo de Ricci deforma las variedades riemannianas cerradas que son tridimensionales con curvatura de Ricci positiva [H82b] o curvatura de Ricci no negativa [H86] , cuatridimensionales con operador de curvatura positiva o no negativa [H86] y bidimensionales de característica de Euler no positiva o de curvatura positiva [H88] . En cada caso, después de las normalizaciones apropiadas, el flujo de Ricci deforma la métrica riemanniana dada a una de curvatura constante . Esto tiene corolarios inmediatos de alta importancia en geometría diferencial , como el hecho de que cualquier 3-variedad cerrada y suave que admita una métrica riemanniana de curvatura positiva también admite una métrica riemanniana de curvatura seccional positiva constante. Tales resultados son notables en la restricción altamente de la topología de tales variedades; las formas espaciales de curvatura positiva se entienden en gran medida. Existen otros corolarios, como el hecho de que el espacio topológico de las métricas de Riemann de curvatura de Ricci positiva en una variedad 3-variedad cerrada y lisa está conexo por trayectorias. Entre otros desarrollos posteriores, estos teoremas de convergencia de Hamilton fueron ampliados por Simon Brendle y Richard Schoen en 2009 para dar una prueba del teorema de la esfera diferenciable , que había sido una conjetura importante en la geometría de Riemann desde la década de 1960. [29] [18]
En 1995, Hamilton extendió la teoría de compacidad de Jeff Cheeger para variedades de Riemann para dar un teorema de compacidad para secuencias de flujos de Ricci. [H95a] Dado un flujo de Ricci en una variedad cerrada con una singularidad de tiempo finito, Hamilton desarrolló métodos de reescalamiento alrededor de la singularidad para producir una secuencia de flujos de Ricci; la teoría de compacidad asegura la existencia de un flujo de Ricci límite, que modela la geometría a pequeña escala de un flujo de Ricci alrededor de un punto singular. [H95b] Hamilton usó sus principios máximos para demostrar que, para cualquier flujo de Ricci en una variedad tridimensional cerrada, el valor más pequeño de la curvatura seccional es pequeño en comparación con su valor más grande. Esto se conoce como la estimación de Hamilton-Ivey; es extremadamente significativa como una desigualdad de curvatura que se cumple sin suposiciones condicionales más allá de la tridimensionalidad. Una consecuencia importante es que, en tres dimensiones, un flujo de Ricci límite como el producido por la teoría de compacidad automáticamente tiene una curvatura no negativa. [H95b] Por lo tanto, la desigualdad de Harnack de Hamilton es aplicable al flujo de Ricci limitante. Estos métodos fueron ampliados por Grigori Perelman , quien, gracias a su teorema de no colapso , pudo verificar las precondiciones de la teoría de compacidad de Hamilton en varios contextos nuevos. [19] [18]
En 1997, Hamilton fue capaz de combinar sus métodos desarrollados para definir el flujo de Ricci con la cirugía para variedades riemannianas de cuatro dimensiones de curvatura isotrópica positiva. [H97] Para los flujos de Ricci con datos iniciales en esta clase, fue capaz de clasificar las posibilidades para la geometría de pequeña escala alrededor de puntos con gran curvatura y, por lo tanto, modificar sistemáticamente la geometría para continuar el flujo de Ricci más allá de los tiempos en que la curvatura se acumula indefinidamente. Como consecuencia, obtuvo un resultado que clasifica las variedades de cuatro dimensiones suaves que admiten métricas riemannianas de curvatura isotrópica positiva. Shing-Tung Yau ha descrito este artículo como el "evento más importante" en el análisis geométrico en el período posterior a 1993, marcándolo como el punto en el que se hizo evidente que podría ser posible probar la conjetura de geometrización de Thurston mediante métodos de flujo de Ricci. [30] La cuestión esencial pendiente era llevar a cabo una clasificación análoga, para la geometría de pequeña escala alrededor de puntos de alta curvatura en flujos de Ricci en variedades tridimensionales, sin ninguna restricción de curvatura; la estimación de la curvatura de Hamilton-Ivey es análoga a la condición de curvatura isotrópica positiva. Esto fue resuelto por Grigori Perelman en su famoso teorema de vecindades canónicas . [19] Partiendo de este resultado, Perelman modificó la forma del procedimiento de cirugía de Hamilton para definir un flujo de Ricci con cirugía dada una métrica de Riemann suave arbitraria en una variedad tridimensional cerrada. Usando esto como la herramienta analítica central, Perelman resolvió la conjetura de geometrización, que contiene la conocida conjetura de Poincaré como un caso especial. [31] [18]
En uno de sus primeros trabajos, Hamilton demostró el teorema del punto fijo de Earle-Hamilton en colaboración con Clifford Earle . [EH70] En notas de clase inéditas de la década de 1980, Hamilton presentó el flujo de Yamabe y demostró su existencia a largo plazo. [18] En colaboración con Shiing-Shen Chern , Hamilton estudió ciertos problemas variacionales para métricas de Riemann en geometría de contacto . [32] También hizo contribuciones al problema de curvatura de Ricci prescrito . [33]
La colección
Contiene doce artículos de Hamilton sobre el flujo de Ricci, además de diez artículos relacionados de otros autores.
