Estrés de Reynolds

Concepto en mecánica de fluidos

En dinámica de fluidos , la tensión de Reynolds es el componente del tensor de tensión total en un fluido obtenido a partir de la operación de promediado sobre las ecuaciones de Navier-Stokes para tener en cuenta las fluctuaciones turbulentas en el momento del fluido .

Definición

El campo de velocidad de un flujo se puede dividir en una parte media y una parte fluctuante utilizando la descomposición de Reynolds . Escribimos

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}$

donde s es el vector de velocidad de flujo que tiene componentes en la dirección de coordenadas (donde s denota los componentes del vector de coordenadas ). Las velocidades medias se determinan ya sea por promedio de tiempo , promedio espacial o promedio de conjunto , dependiendo del flujo en estudio. Además denota la parte fluctuante (turbulencia) de la velocidad. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$

Consideremos un fluido homogéneo, cuya densidad ρ se toma constante. Para dicho fluido, las componentes τ' _ij del tensor de tensión de Reynolds se definen como:

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

Otra definición, frecuentemente utilizada, para la densidad constante de los componentes de tensión de Reynolds es:

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

que tiene las dimensiones de la velocidad al cuadrado, en lugar del estrés.

Promedio y estrés de Reynolds

Para ilustrarlo, se utiliza la notación de índice vectorial cartesiano . Para simplificar, considere un fluido incompresible :

Dada la velocidad del fluido en función de la posición y el tiempo, escriba la velocidad promedio del fluido como , y la fluctuación de la velocidad es . Entonces . ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$

Las reglas convencionales de conjunto para promediar son que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

Si se dividen las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) o las ecuaciones de Navier-Stokes en una parte promedio y una parte fluctuante, se descubre que al promediar las ecuaciones de fluidos, aparece una tensión en el lado derecho de la forma . Esta es la tensión de Reynolds, que se escribe convencionalmente como : ${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

La divergencia de esta tensión es la densidad de fuerza sobre el fluido debido a las fluctuaciones turbulentas.

Promedio de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes

Por ejemplo, para un fluido newtoniano viscoso e incompresible , las ecuaciones de continuidad y momento (las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes ) se pueden escribir (en forma no conservativa) como

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

¿Dónde está la derivada lagrangiana o la derivada sustancial ? ${\displaystyle D/Dt}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

Al definir las variables de flujo anteriores con un componente promediado en el tiempo y un componente fluctuante, las ecuaciones de continuidad y momento se convierten en

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Al examinar uno de los términos del lado izquierdo de la ecuación del momento, se ve que

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

donde el último término del lado derecho se anula como resultado de la ecuación de continuidad. En consecuencia, la ecuación de momento se convierte en

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Ahora se promediarán las ecuaciones de continuidad y momento. Es necesario aplicar las reglas de conjunto para promediar, teniendo en cuenta que el promedio de los productos de cantidades fluctuantes no desaparecerá en general. Después de promediar, las ecuaciones de continuidad y momento se convierten en

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Utilizando la regla del producto en uno de los términos del lado izquierdo, se revela que

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

donde el último término del lado derecho se anula como resultado de la ecuación de continuidad promediada. La ecuación de momento promediada se convierte ahora, después de un reordenamiento:

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

donde las tensiones de Reynolds, , se recogen con los términos de tensión normal viscosa y tensión cortante , . ${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$ ${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$

Discusión

La ecuación de evolución temporal de la tensión de Reynolds se dio por primera vez por la Ec. (1.6) en el artículo de Zhou Peiyuan . ^[1] La ecuación en forma moderna es donde es la viscosidad cinemática y el último término es la tasa de disipación turbulenta. Esta ecuación es muy compleja. Si se traza, se obtiene la energía cinética de turbulencia . El término de mezcla de presión se llama así porque este término (también llamado covarianza presión-deformación) no tiene traza bajo el supuesto de incompresibilidad, lo que significa que no puede crear ni destruir energía cinética de turbulencia sino que solo puede mezclarla entre los tres componentes de la velocidad. Dependiendo de la aplicación, esta ecuación también puede incluir términos de producción boyante (proporcionales a la aceleración gravitacional ) y términos de producción de Coriolis (proporcionales a la tasa de rotación de la Tierra); estos estarían presentes en aplicaciones atmosféricas, por ejemplo. $${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}} _{\rm {storage}}+\!\!\underbrace {{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {mean~advection}}=-\ \underbrace {{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {shear~production}}+\underbrace {\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}} _{\rm {pressure-scrambling}}-\underbrace {{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)} _{\rm {transport~terms}}-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}},}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu {\overline {{\tfrac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\tfrac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle g}$

La pregunta entonces es, ¿cuál es el valor de la tensión de Reynolds? Este ha sido el tema de un intenso modelado e interés, durante aproximadamente el siglo pasado. El problema se reconoce como un problema de cierre , similar al problema de cierre en la jerarquía BBGKY . Una ecuación de transporte para la tensión de Reynolds se puede encontrar tomando el producto externo de las ecuaciones del fluido para la velocidad fluctuante, consigo mismo.

Se ha descubierto que la ecuación de transporte para la tensión de Reynolds incluye términos con correlaciones de orden superior (específicamente, la correlación triple ) así como correlaciones con fluctuaciones de presión (es decir, el momento transportado por las ondas sonoras). Una solución común es modelar estos términos mediante prescripciones ad hoc simples . ${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$

La teoría de la tensión de Reynolds es bastante análoga a la teoría cinética de los gases y, de hecho, el tensor de tensión en un fluido en un punto puede considerarse como el promedio del conjunto de la tensión debida a las velocidades térmicas de las moléculas en un punto dado de un fluido. Por lo tanto, por analogía, a veces se piensa que la tensión de Reynolds consta de una parte de presión isotrópica, denominada presión turbulenta, y una parte fuera de la diagonal que puede considerarse como una viscosidad turbulenta efectiva.

De hecho, aunque se ha invertido mucho esfuerzo en desarrollar buenos modelos para la tensión de Reynolds en un fluido, como cuestión práctica, al resolver las ecuaciones de fluidos utilizando dinámica de fluidos computacional, a menudo los modelos de turbulencia más simples resultan los más efectivos. Una clase de modelos, estrechamente relacionados con el concepto de viscosidad turbulenta, son los modelos de turbulencia k-épsilon , basados ​​en ecuaciones de transporte acopladas para la densidad de energía turbulenta (similar a la presión turbulenta, es decir, la traza de la tensión de Reynolds) y la tasa de disipación turbulenta . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Por lo general, el promedio se define formalmente como un promedio de conjunto, como en la teoría estadística de conjuntos . Sin embargo, en la práctica, el promedio también puede considerarse como un promedio espacial a lo largo de una escala de longitud, o un promedio temporal. Nótese que, si bien formalmente la conexión entre dichos promedios está justificada en la mecánica estadística del equilibrio por el teorema ergódico , la mecánica estadística de la turbulencia hidrodinámica está lejos de ser comprendida actualmente. De hecho, la tensión de Reynolds en cualquier punto dado en un fluido turbulento está sujeta en cierta medida a interpretación, dependiendo de cómo se defina el promedio.

Referencias

1. PY Chou (1945). "Sobre las correlaciones de velocidad y las soluciones de las ecuaciones de fluctuación turbulenta". Quart. Appl. Math . 3 : 38–54. doi : 10.1090/qam/11999 .

• Hinze, JO (1975). Turbulencia (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-029037-7.
• Tennekes, H. ; Lumley, JL (1972). Un primer curso sobre turbulencia . MIT Press. ISBN 0-262-20019-8.
• Pope, Stephen B. (2000). Flujos turbulentos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-59886-9.