Representación espectral de Källén-Lehmann

Expresión para funciones de correlación de dos puntos

La representación espectral de Källén-Lehmann, o simplemente representación de Lehmann, da una expresión general para la función de dos puntos ( ordenada en el tiempo ) de una teoría cuántica de campos en interacción como una suma de propagadores libres . Fue descubierta por Gunnar Källén en 1952, e independientemente por Harry Lehmann en 1954. ^{[1] [2]} Esto se puede escribir como, utilizando la firma métrica mayoritariamente negativa,

${\displaystyle \Delta (p)=\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }},}$

donde es la función de densidad espectral que debe ser definida positiva. En una teoría de calibre , esta última condición no se puede conceder, pero sin embargo se puede proporcionar una representación espectral. ^[3] Esto pertenece a las técnicas no perturbativas de la teoría cuántica de campos . ${\displaystyle \rho (\mu ^{2})}$

Derivación matemática

La siguiente derivación emplea la firma métrica mayoritariamente negativa.

Para derivar una representación espectral para el propagador de un campo , se considera un conjunto completo de estados de modo que, para la función de dos puntos, se puede escribir ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}\langle 0|\Phi (x)|n\rangle \langle n|\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle .}$

Ahora podemos utilizar la invariancia de Poincaré del vacío para escribir

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}e^{-ip_{n}\cdot (x-y)}|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}.}$

A continuación presentamos la función de densidad espectral

${\displaystyle \rho (p^{2})\theta (p_{0})(2\pi )^{-3}=\sum _{n}\delta ^{4}(p-p_{n})|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}}$.

Donde hemos utilizado el hecho de que nuestra función de dos puntos, al ser una función de , solo puede depender de . Además, todos los estados intermedios tienen y . Es inmediato darse cuenta de que la función de densidad espectral es real y positiva. Por lo tanto, se puede escribir ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle p_{0}>0}$

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}e^{-ip\cdot (x-y)}\rho (\mu ^{2})\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$

e intercambiamos libremente la integración, esto debe hacerse con cuidado desde un punto de vista matemático, pero aquí ignoramos esto y escribimos esta expresión como

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta '(x-y;\mu ^{2})}$

dónde

${\displaystyle \Delta '(x-y;\mu ^{2})=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$.

Del teorema CPT también sabemos que una expresión idéntica es válida para y así llegamos a la expresión para el producto de campos ordenado en el tiempo ${\displaystyle \langle 0|\Phi ^{\dagger }(x)\Phi (y)|0\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|T\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta (x-y;\mu ^{2})}$

¿Dónde ahora?

${\displaystyle \Delta (p;\mu ^{2})={\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$

un propagador de partículas libre . Ahora, como tenemos el propagador exacto dado por la función de dos puntos ordenada en el tiempo, hemos obtenido la descomposición espectral.

Referencias

1. Källén, Gunnar (1952). "Sobre la definición de las constantes de renormalización en la electrodinámica cuántica". Helvetica Physica Acta . 25 : 417. doi :10.5169/seals-112316(descarga en pdf disponible){{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
2. Lehmann, Harry (1954). "Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder". Nuovo Cimento (en alemán). 11 (4): 342–357. Código bibliográfico : 1954NCim...11..342L. doi :10.1007/bf02783624. ISSN  0029-6341. S2CID  120848922.
3. Strocchi, Franco (1993). Temas selectos sobre las propiedades generales de la teoría cuántica de campos . Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-02-1143-1.

Bibliografía

• Weinberg, S. (1995). La teoría cuántica de campos: volumen I Fundamentos . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55001-7.
• Peskin, Michael ; Schroeder, Daniel (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Perseus Books Group . ISBN 978-0-201-50397-5.
• Zinn-Justin, Jean (1996). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos (3.ª ed.). Clarendon Press . ISBN 978-0-19-851882-2.