Remolinos de Moffatt

Los remolinos de Moffatt son secuencias de remolinos que se desarrollan en esquinas delimitadas por paredes planas (o, a veces, entre una pared y una superficie libre) debido a una perturbación arbitraria que actúa a distancias asintóticamente grandes de la esquina. Aunque la fuente del movimiento es la perturbación arbitraria a grandes distancias, los remolinos se desarrollan de forma bastante independiente y, por lo tanto, la solución de estos remolinos surge de un problema de valor propio, una solución autosimilar de segundo tipo.

Los remolinos reciben su nombre de Keith Moffatt , quien los descubrió en 1964, ^[1] aunque algunos de los resultados ya fueron obtenidos por William Reginald Dean y PE Montagnon en 1949. ^[2] Lord Rayleigh también estudió el problema del flujo cerca de la esquina con condiciones de contorno homogéneas en 1911. ^[3] Los remolinos de Moffatt dentro de los conos son resueltos por PN Shankar . ^[4]

Descripción del flujo

Cerca de la esquina, se puede suponer que el flujo es un flujo de Stokes . Describiendo el problema plano bidimensional mediante las coordenadas cilíndricas con componentes de velocidad definidos por una función de corriente tal que ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad u_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

La ecuación que rige la ecuación puede demostrarse como simplemente la ecuación biarmónica . La ecuación debe resolverse con condiciones de contorno homogéneas (condiciones tomadas para dos paredes separadas por un ángulo ). ${\displaystyle \nabla ^{4}\psi =0}$ ${\displaystyle 2\alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}r>0,\ \theta =-\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0\\r>0,\ \theta =\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0.\end{aligned}}}$

El flujo de raspado de Taylor es similar a este problema, pero se basa en condiciones de contorno no homogéneas. La solución se obtiene mediante la expansión de la función propia, ^[5]

${\displaystyle \psi =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}r^{\lambda _{n}}f_{\lambda _{n}}(\theta )}$

donde son constantes y la parte real de los valores propios siempre es mayor que la unidad. Los valores propios serán función del ángulo , pero independientemente de esto, las funciones propias se pueden escribir para cualquier , ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=A+B\theta +C\theta ^{2}+D\theta ^{3},\\f_{1}&=A\cos \theta +B\sin \theta +C\theta \cos \theta +D\theta \sin \theta ,\\f_{2}&=A\cos 2\theta +B\sin 2\theta +C\theta +D,\\f_{\lambda }&=A\cos \lambda \theta +B\sin \lambda \theta +C\cos(\lambda -2)\theta +D\sin(\lambda -2)\theta ,\quad \lambda \geq 2.\end{aligned}}}$

Para una solución antisimétrica, la función propia es par y, por lo tanto , las condiciones de contorno exigen . Las ecuaciones no admiten ninguna raíz real cuando °. Estos valores propios complejos corresponden de hecho a los remolinos de Moffatt. El valor propio complejo está dado por donde ${\displaystyle B=D=0}$ ${\displaystyle \sin 2(\lambda -1)\alpha =-(\lambda -1)\sin 2\alpha }$ ${\displaystyle 2\alpha <146}$ ${\displaystyle \lambda _{n}=1+(2\alpha )^{-1}(\xi _{n}+i\eta _{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \xi \cosh \eta &=-k\xi ,\\\cos \xi \sinh \xi &=-k\eta .\end{aligned}}}$

Aquí . ${\displaystyle k=\sin 2\alpha /2\alpha }$

Véase también

• Flujo de raspado de Taylor

Referencias

1. Moffatt, HK (1964). "Remolinos viscosos y resistivos cerca de una esquina aguda". Revista de mecánica de fluidos . 18 (1): 1–18. Código Bibliográfico :1964JFM....18....1M. doi :10.1017/S0022112064000015. S2CID  123251976.
2. Dean, WR; Montagnon, PE (1949). "Sobre el movimiento constante de un líquido viscoso en una esquina". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 45 (3). Cambridge University Press: 389–394. Bibcode :1949PCPS...45..389D. doi :10.1017/S0305004100025019. S2CID  122817160.
3. Rayleigh, L. (1911). XXIII. Notas hidrodinámicas. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 21(122), 177-195.
4. Shankar, PN (2005). "Remolinos de Moffatt en el cono". Journal of Fluid Mechanics . 539 : 113–135. Bibcode :2005JFM...539..113S. doi :10.1017/S0022112005005458. S2CID  58910487.
5. Shankar, PN (2007). Flujos viscosos lentos: características cualitativas y análisis cuantitativo utilizando expansiones de funciones propias complejas (con CD-ROM). World Scientific.