En combinatoria , la regla de división es un principio de conteo. Establece que hay n / d maneras de hacer una tarea si se puede hacer usando un procedimiento que se puede llevar a cabo de n maneras, y para cada manera w , exactamente d de las n maneras corresponden a la manera w . En pocas palabras, la regla de división es una manera común de ignorar diferencias "sin importancia" al contar cosas. [1]
Aplicado a conjuntos
En términos de un conjunto: "Si el conjunto finito A es la unión de n subconjuntos disjuntos por pares, cada uno con d elementos, entonces n = | A |/ d ." [1]
Como función
La regla de división formulada en términos de funciones: "Si f es una función de A a B donde A y B son conjuntos finitos, y que para cada valor y ∈ B hay exactamente d valores x ∈ A tales que f ( x ) = y (en cuyo caso, decimos que f es d -a-uno), entonces | B | = | A |/ d ." [1]
Ejemplos
Representación visual del ejemplo de mesa redonda
Ejemplo 1
- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar cuatro personas alrededor de una mesa circular, considerándose dos asientos iguales cuando cada persona tiene el mismo vecino a la izquierda y el mismo vecino a la derecha?
Para resolver este ejercicio primero debemos escoger un asiento al azar y asignárselo a la persona 1, el resto de asientos se etiquetarán en orden numérico, en sentido horario alrededor de la mesa. Hay 4 asientos para elegir cuando escogemos el primer asiento, 3 para el segundo, 2 para el tercero y solo queda 1 opción para el último. Por lo tanto, hay 4! = 24 formas posibles de sentarlos. Sin embargo, como solo consideramos una disposición diferente cuando no tienen los mismos vecinos a izquierda y derecha, solo importa 1 de cada 4 opciones de asiento.
Como hay 4 formas de elegir el asiento 1, por la regla de división ( n / d ) hay 24/4 = 6 disposiciones de asientos diferentes para 4 personas alrededor de la mesa.
Ejemplo 2
- Tenemos 6 ladrillos de colores en total, 4 de ellos son rojos y 2 son blancos, ¿de cuántas maneras podemos colocarlos?
Si todos los ladrillos tuvieran colores diferentes, el total de formas de ordenarlos sería 6! = 720 , pero como no tienen colores diferentes, lo calcularíamos de la siguiente manera:
4 ladrillos rojos tienen 4! = 24 arreglos
2 ladrillos blancos tienen 2! = 2 arreglos
Disposiciones totales de 4 ladrillos rojos y 2 blancos = 6!/¡4!¡2! = 15 .
