Regla de Murnaghan-Nakayama

En teoría de grupos , una rama de las matemáticas, la regla Murnaghan-Nakayama, que lleva el nombre de Francis Murnaghan y Tadashi Nakayama , es un método combinatorio para calcular valores de caracteres irreducibles de un grupo simétrico . ^[1] Hay varias generalizaciones de esta regla más allá de la teoría de la representación de grupos simétricos, pero no se tratan aquí.

Los caracteres irreductibles de un grupo son de interés para los matemáticos porque resumen de manera concisa información importante sobre el grupo, como las dimensiones de los espacios vectoriales en los que los elementos del grupo pueden representarse mediante transformaciones lineales que "mezclan" todas las dimensiones. Para muchos grupos, calcular valores de caracteres irreducibles es muy difícil; la existencia de fórmulas simples es la excepción y no la regla.

La regla de Murnaghan-Nakayama es una regla combinatoria para calcular valores de caracteres de grupos simétricos χ^λ
_ρutilizando un tipo particular de cuadros jóvenes . Aquí λ y ρ son particiones enteras de algún número entero n , el orden del grupo simétrico considerado. La partición λ especifica el carácter irreducible, mientras que la partición ρ especifica la clase de conjugación en cuyos elementos del grupo se evalúa el carácter para producir el valor del carácter. Las particiones se representan como tuplas débilmente decrecientes ; por ejemplo, dos de las particiones de 8 son (5,2,1) y (3,3,1,1).

Hay dos versiones de la regla de Murnaghan-Nakayama, una no recursiva y otra recursiva.

Versión no recursiva

Teorema:

${\displaystyle \chi _{\rho }^{\lambda }=\sum _{T\in BST(\lambda ,\rho )}(-1)^{ht(T)}}$

donde la suma se toma sobre el conjunto BST(λ,ρ) de todos los cuadros de franjas fronterizas de forma λ y tipo ρ. Es decir, cada cuadro T es un cuadro tal que

• la k -ésima fila de T tiene λ _k cajas
• las casillas de T están llenas de números enteros, y el número entero i aparece ρ _i veces
• los números enteros en cada fila y columna aumentan débilmente
• el conjunto de cuadrados rellenos con el número entero i forman una franja de borde , es decir, una forma sesgada conectada sin ningún cuadrado de 2 × 2.

La altura , ht ( T), es la suma de las alturas de las franjas fronterizas en T. La altura de una franja de borde es uno menos que el número de filas que toca.

De este teorema se deduce que los valores de caracteres de un grupo simétrico son números enteros.

Para algunas combinaciones de λ y ρ, no hay cuadros de franjas fronterizas. En este caso, no hay términos en la suma y por lo tanto el valor del carácter es cero.

Ejemplo

Considere el cálculo de uno de los valores de caracteres para el grupo simétrico de orden 8, cuando λ es la partición (5,2,1) y ρ es la partición (3,3,1,1). La partición de forma λ especifica que el cuadro debe tener tres filas, la primera con 5 cuadros, la segunda con 2 cuadros y la tercera con 1 cuadro. El tipo de partición ρ especifica que el cuadro debe llenarse con tres 1, tres 2, un 3 y un 4. Hay seis cuadros de franjas fronterizas de este tipo:

Ejemplo de cuadros de franjas fronterizas involucrados en el cálculo de un valor de carácter de grupo simétrico particular utilizando la regla no recursiva de Murnaghan-Nakayama.

Si los llamamos , , , , y , entonces sus alturas son ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{4}}$ ${\displaystyle T_{5}}$ ${\displaystyle T_{6}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ht(T_{1})=0+1+0+0=1\\ht(T_{2})=1+0+0+0=1\\ht(T_{3})=1+0+0+0=1\\ht(T_{4})=2+0+0+0=2\\ht(T_{5})=2+0+0+0=2\\ht(T_{6})=2+1+0+0=3\end{aligned}}}$

y el valor del carácter es por lo tanto

${\displaystyle \chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=(-1)^{1}+(-1)^{1}+(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{3}=-1-1-1+1+1-1=-2}$

Versión recursiva

Teorema:

${\displaystyle \chi _{\rho }^{\lambda }=\sum _{\xi \in BS(\lambda ,\rho _{1})}(-1)^{ht(\xi )}\chi _{\rho \backslash \rho _{1}}^{\lambda \backslash \xi }}$

donde la suma se toma sobre el conjunto BS(λ,ρ ₁ ) de franjas fronterizas dentro del diagrama de Young de forma λ que tienen ρ ₁ casillas y cuya eliminación deja un diagrama de Young válido. La notación representa la partición que resulta de quitar la franja fronteriza ξ de λ. La notación representa la partición que resulta de eliminar el primer elemento ρ ₁ de ρ. ${\displaystyle \lambda \backslash \xi }$ ${\displaystyle \rho \backslash \rho _{1}}$

Tenga en cuenta que el lado derecho es una suma de caracteres para grupos simétricos que tienen un orden menor que el del grupo simétrico con el que comenzamos en el lado izquierdo. En otras palabras, esta versión de la regla de Murnaghan-Nakayama expresa un carácter del grupo simétrico S _n en términos de los caracteres de grupos simétricos más pequeños S _k con k < n .

La aplicación de esta regla de forma recursiva dará como resultado un árbol de evaluaciones de valores de caracteres para particiones cada vez más pequeñas. Cada rama se detiene por una de dos razones: o no hay franjas de borde de la longitud requerida dentro de la forma reducida, por lo que la suma de la derecha es cero, o se elimina una franja de borde que ocupa toda la forma reducida, dejando un diagrama de Young con sin cajas. En este punto estamos evaluando χ^λ
_ρcuando tanto λ como ρ son la partición vacía (), y la regla requiere que este caso terminal se defina con carácter . ${\displaystyle \chi _{()}^{()}=1}$

Esta versión recursiva de la regla de Murnaghan-Nakayama es especialmente eficiente para el cálculo por computadora cuando se calculan tablas de caracteres para S _k para valores crecientes de k y se almacenan todas las tablas de caracteres calculadas previamente.

Ejemplo

Nuevamente calcularemos el valor del carácter con λ=(5,2,1) y ρ=(3,3,1,1).

Para comenzar, considere el diagrama de Young con forma λ. Como la primera parte de ρ es 3, busca franjas de borde que consten de 3 cuadros. Hay dos posibilidades:

Ejemplo de cuadros de franjas fronterizas involucrados en el cálculo de un valor de carácter de grupo simétrico particular utilizando la regla recursiva de Murnaghan-Nakayama.

En el primer diagrama, la franja del borde tiene altura 0 y al eliminarla se produce la forma reducida (2,2,1). En el segundo diagrama, la franja de borde tiene altura 1, y al quitarla se obtiene la forma reducida (5). Por lo tanto, uno tiene

${\displaystyle \chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=\chi _{(3,1,1)}^{(2,2,1)}-\chi _{(3,1,1)}^{(5)}}$,

expresar un valor de carácter de S ₈ en términos de dos valores de carácter de S ₅ .

Aplicando la regla nuevamente a ambos términos, se encuentra

${\displaystyle \chi _{(3,1,1)}^{(2,2,1)}=-\chi _{(1,1)}^{(2)}}$

y

${\displaystyle \chi _{(3,1,1)}^{(5)}=\chi _{(1,1)}^{(2)}}$,

reduciendo a un valor de carácter de S ₂ .

Aplicando de nuevo, se encuentra

${\displaystyle \chi _{(1,1)}^{(2)}=\chi _{(1)}^{(1)}}$,

reduciendo al único valor de carácter de S ₁ .

Una aplicación final produce el carácter terminal : ${\displaystyle \chi _{()}^{()}=1}$

${\displaystyle \chi _{(1)}^{(1)}=\chi _{()}^{()}=1}$

Trabajando hacia atrás a partir de este carácter conocido, el resultado es , como antes. ${\displaystyle \chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=-2}$

Referencias

1. Richard Stanley, Combinatoria enumerativa, vol. 2