Noción de Computabilidad
En análisis computable , la reducibilidad de Weihrauch es una noción de reducibilidad entre funciones multivaluadas en espacios representados que captura aproximadamente la fuerza computacional uniforme de los problemas computacionales . [1] Fue introducido originalmente por Klaus Weihrauch en un informe técnico inédito de 1992. [2]
Definición
Un espacio representado es un par de un conjunto y una función parcial sobreyectiva . [1]![{\textstyle (X,\delta)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta :\subset \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\rightarrow X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sean espacios representados y sea una función parcial multivaluada. Un realizador de for es una función (posiblemente parcial) tal que, para cada , . Intuitivamente, un realizador se comporta "como " pero funciona con nombres. Si es un realizador de lo que escribimos .![{\ Displaystyle (X, \ delta _ {X}), (Y, \ delta _ {Y})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:\subconjunto X\rightrightarrows Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F:\subset \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\in \mathrm {dom} f\circ \delta _ {X}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \delta _{Y}\circ F(p)=f\circ \delta _{X}(p)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F\vdash f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sean espacios representados y funciones parciales multivaluadas. Decimos que Weihrauch es reducible a y escribimos si existen funciones parciales computables tales que![{\displaystyle X,Y,Z,W}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:\subconjunto X\rightrightarrows Y,g:\subconjunto Z\rightrightarrows W}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\leq _{\mathrm {W} }g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi ,\Psi :\subset \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\forall G\vdash g)(\Psi \langle \mathrm {id} ,G\Phi \rangle \vdash f),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
espacio de Baire[ cita necesaria ]hacia adelantehacia atrás![{\displaystyle \Psi \langle \mathrm {id} ,G\Phi \rangle :=\langle p,q\rangle \mapsto \Psi (\langle p,G\Phi (q)\rangle )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \cdot \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\leq _{\mathrm {W} }g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi,\Psi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\mapsto \Psi (p,q)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\Phi (p))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi,\Psi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Decimos que Weihrauch es fuertemente reducible a y escribimos si el funcional hacia atrás no tiene acceso a la entrada original. En símbolos:![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\leq _{\mathrm {sW} }g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\forall G\vdash g)(\Psi G\Phi \vdash f).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ ab Brattka, Vasco; Gherardi, Guido; Pauly, Arno (2021), Brattka, Vasco; Hertling, Peter (eds.), "Weihrauch Complexity in Computable Analysis", Manual de computabilidad y complejidad en el análisis , Cham: Springer International Publishing, págs. 367–417, arXiv : 1707.03202 , doi : 10.1007/978-3-030- 59234-9_11, ISBN 978-3-030-59233-2, S2CID 7903709 , consultado el 29 de junio de 2022
- ^ Los grados de discontinuidad de algunos traductores entre representaciones de números reales (Reporte). Instituto Internacional de Ciencias de la Computación. 1992.