Par fundamental de periodos

Manera de definir una red en el plano complejo

En matemáticas , un par fundamental de períodos es un par ordenado de números complejos que define una red en el plano complejo . Este tipo de red es el objeto subyacente con el que se definen las funciones elípticas y las formas modulares .

Paralelogramo fundamental definido por un par de vectores en el plano complejo.

Definición

Un par fundamental de períodos es un par de números complejos cuyo cociente no es real. Si se consideran como vectores en , los dos son linealmente independientes . La red generada por y es ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Esta red también se denota a veces como para dejar claro que depende de y También se denota a veces por o o simplemente por Los dos generadores y se denominan base de la red . El paralelogramo con vértices se denomina paralelogramo fundamental . ${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}.}$ ${\displaystyle \Omega {\vphantom {(}}}$ ${\displaystyle \Omega (\omega _{1},\omega _{2}),}$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2}).}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle (0,\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{2})}$

Si bien un par fundamental genera una red, una red no tiene ningún par fundamental único; de hecho, un número infinito de pares fundamentales corresponden a la misma red.

Propiedades algebraicas

A continuación se enumeran varias propiedades.

Equivalencia

Una red abarcada por períodos ω ₁ y ω ₂ , que muestra un par equivalente de períodos α ₁ y α ₂ .

Dos pares de números complejos y se llaman equivalentes si generan la misma red: es decir, si ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\Lambda (\alpha _{1},\alpha _{2}).}$

Sin puntos interiores

El paralelogramo fundamental no contiene más puntos reticulares en su interior o en su límite. Por el contrario, cualquier par de puntos reticulares que posean esta propiedad constituyen un par fundamental y, además, generan el mismo retículo.

Simetría modular

Dos pares y son equivalentes si y solo si existe una matriz 2 × 2 con entradas enteras y y determinante tal que ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}},}$

es decir, para que

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}=a\omega _{1}+b\omega _{2},\\[5mu]\alpha _{2}=c\omega _{1}+d\omega _{2}.\end{aligned}}}$

Esta matriz pertenece al grupo modular. Esta equivalencia de redes puede considerarse como la base de muchas de las propiedades de las funciones elípticas (especialmente la función elíptica de Weierstrass ) y las formas modulares. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} ).}$

Propiedades topológicas

El grupo abeliano convierte el plano complejo en el paralelogramo fundamental. Es decir, cada punto puede escribirse como para números enteros con un punto en el paralelogramo fundamental. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle p}$

Como esta función identifica los lados opuestos del paralelogramo como iguales, el paralelogramo fundamental tiene la topología de un toro . De manera equivalente, se dice que la variedad cociente es un toro. ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Región fundamental

El gris representa el dominio fundamental canónico.

Definamos como el cociente de semiperíodos . Entonces, la base reticular siempre se puede elegir de modo que se encuentre en una región especial, llamada dominio fundamental . Alternativamente, siempre existe un elemento del grupo lineal especial proyectivo que asigna una base reticular a otra base de modo que se encuentre en el dominio fundamental. ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \tau }$

El dominio fundamental está dado por el conjunto que se compone de un conjunto más una parte del límite de : ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

¿Dónde está el semiplano superior ? ${\displaystyle H}$

El dominio fundamental se construye entonces sumando el límite de la izquierda más la mitad del arco de la parte inferior: ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,\operatorname {Re} (z)\leq 0\right\}.}$

Se tratan tres casos:

• Si y , entonces hay exactamente dos bases reticulares con el mismo en la región fundamental: y ${\displaystyle \tau \neq i}$ ${\textstyle \tau \neq e^{i\pi /3}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2}).}$
• Si , entonces las cuatro bases reticulares tienen lo mismo : las dos anteriores , y , ${\displaystyle \tau =i}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2})}$ ${\displaystyle (i\omega _{1},i\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-i\omega _{1},-i\omega _{2}).}$
• Si , entonces hay seis bases reticulares con los mismos : , , y sus negativos. ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})}$ ${\displaystyle (\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})}$

En el cierre del dominio fundamental: y ${\displaystyle \tau =i}$ ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}.}$

Véase también

• Existen varias notaciones alternativas para la red y para el par fundamental, que a menudo se utilizan en su lugar. Véanse, por ejemplo, los artículos sobre el nome , el módulo elíptico , el cuarto de período y la razón de semiperíodo .
• Curva elíptica
• Forma modular
• Serie de Eisenstein

Referencias

• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números (1990), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-97127-0 (Véase los capítulos 1 y 2.)
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (Véase el capítulo 2.)