número de Rayleigh

Cantidad adimensional asociada con la convección libre de un fluido.

En mecánica de fluidos , el número de Rayleigh ( Ra , en honor a Lord Rayleigh ^[1] ) para un fluido es un número adimensional asociado con el flujo impulsado por la flotabilidad , también conocido como convección libre (o natural) . ^{[2] [3] [4]} Caracteriza el régimen de flujo del fluido: ^[5] un valor en un cierto rango inferior denota flujo laminar ; un valor en un rango superior, flujo turbulento . Por debajo de cierto valor crítico, no hay movimiento de fluido y la transferencia de calor se realiza por conducción y no por convección. Para la mayoría de los propósitos de ingeniería, el número de Rayleigh es grande, alrededor de 10 ⁶ a 10 ⁸ .

El número de Rayleigh se define como el producto del número de Grashof ( Gr ), que describe la relación entre la flotabilidad y la viscosidad dentro de un fluido, y el número de Prandtl ( Pr ), que describe la relación entre la difusividad del momento y la difusividad térmica : Ra = Gr × Pr . ^{[4] [3]} Por lo tanto, también puede verse como la relación entre las fuerzas de flotabilidad y viscosidad multiplicada por la relación entre el momento y las difusividades térmicas: Ra = B/ μ × ν / α . Está estrechamente relacionado con el número de Nusselt ( Nu ). ^[5]

Derivación

El número de Rayleigh describe el comportamiento de los fluidos (como el agua o el aire) cuando la densidad de masa del fluido no es uniforme. Las diferencias de densidad de masa suelen deberse a diferencias de temperatura. Normalmente un fluido se expande y se vuelve menos denso a medida que se calienta. La gravedad hace que las partes más densas del fluido se hunda, lo que se llama convección . Lord Rayleigh estudió ^[2] el caso de la convección Rayleigh-Bénard . ^[6] Cuando el número de Rayleigh, Ra, está por debajo de un valor crítico para un fluido, no hay flujo y la transferencia de calor es puramente por conducción ; cuando supera ese valor, el calor se transfiere por convección natural. ^[3]

Cuando la diferencia de densidad de masa es causada por la diferencia de temperatura, Ra es, por definición, la relación entre la escala de tiempo para el transporte térmico difusivo y la escala de tiempo para el transporte térmico convectivo a velocidad : ^[4] ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\text{time scale for thermal transport via diffusion}}{{\text{time scale for thermal transport via convection at speed}}~u}}.}$$

Esto significa que el número de Rayleigh es un tipo ^[4] del número de Péclet . Para un volumen de fluido de tamaño en las tres dimensiones ^{[ se necesita aclaración ]} y diferencia de densidad de masa , la fuerza debida a la gravedad es del orden , donde es la aceleración debida a la gravedad. De la ecuación de Stokes , cuando el volumen de fluido se hunde, la resistencia viscosa es del orden , donde es la viscosidad dinámica del fluido. Cuando estas dos fuerzas se igualan, la velocidad . Por tanto, la escala de tiempo para el transporte por flujo es . La escala de tiempo para la difusión térmica a través de una distancia es donde está la difusividad térmica . Por tanto, el número de Rayleigh Ra es ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Delta \rho }$ ${\displaystyle \Delta \rho l^{3}g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \eta lu}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$ ${\displaystyle l/u\sim \eta /\Delta \rho lg}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}}$$

donde aproximamos la diferencia de densidad para un fluido de densidad de masa promedio , coeficiente de expansión térmica y diferencia de temperatura a lo largo de la distancia . ${\displaystyle \Delta \rho =\rho \beta \Delta T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Delta T}$ ${\displaystyle l}$

El número de Rayleigh se puede escribir como el producto del número de Grashof y el número de Prandtl : ^{[4] [3]}

$${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .}$$

Definición clásica

Para convección libre cerca de una pared vertical, el número de Rayleigh se define como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$$

dónde:

• x es la longitud característica
• Ra _x es el número de Rayleigh para la longitud característica x
• g es la aceleración debida a la gravedad
• β es el coeficiente de expansión térmica (igual a 1/ T , para gases ideales, donde T es la temperatura absoluta).
• ${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática
• α es la difusividad térmica
• T _s es la temperatura de la superficie
• T _∞ es la temperatura de reposo (temperatura del fluido lejos de la superficie del objeto)
• Gr _x es el número de Grashof para la longitud característica x
• Pr es el número de Prandtl

En lo anterior, las propiedades del fluido Pr, ν , α y β se evalúan a la temperatura de la película , que se define como:

$${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}.}$$

Para un flujo de calentamiento de pared uniforme, el número de Rayleigh modificado se define como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}}$$

dónde:

• q″ _o es el flujo de calor superficial uniforme
• k es la conductividad térmica. ^[7]

Otras aplicaciones

Aleaciones solidificantes

El número de Rayleigh también se puede utilizar como criterio para predecir inestabilidades conveccionales, como los segregados A , en la zona blanda de una aleación en solidificación. El número de Rayleigh de la zona blanda se define como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}}$$

dónde:

• K es la permeabilidad media (de la porción inicial de la papilla)
• L es la escala de longitud característica
• α es la difusividad térmica
• ν es la viscosidad cinemática
• R es la velocidad de solidificación o isoterma. ^[8]

Se predice que se formarán segregados A cuando el número de Rayleigh exceda un cierto valor crítico. Este valor crítico es independiente de la composición de la aleación, y esta es la principal ventaja del criterio del número de Rayleigh sobre otros criterios para la predicción de inestabilidades conveccionales, como el criterio de Suzuki.

Torabi Rad et al. demostró que para las aleaciones de acero el número crítico de Rayleigh es 17. ^[8] Pickering et al. exploró el criterio de Torabi Rad y verificó aún más su eficacia. También se desarrollaron números críticos de Rayleigh para superaleaciones a base de plomo-estaño y níquel. ^[9]

Medios porosos

El número de Rayleigh anterior es para la convección en un fluido a granel, como aire o agua, pero la convección también puede ocurrir cuando el fluido está dentro y llena un medio poroso, como una roca porosa saturada con agua. ^[10] Entonces el número de Rayleigh, a veces llamado número de Rayleigh-Darcy , es diferente. En un fluido a granel, es decir, no en un medio poroso, según la ecuación de Stokes , la velocidad de caída de un dominio de tamaño del líquido . En medio poroso, esta expresión se sustituye por la de la ley de Darcy , con la permeabilidad del medio poroso. El número de Rayleigh o Rayleigh-Darcy es entonces ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho kg/\eta }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}}$$

Esto también se aplica a los segregados A , en la zona blanda de una aleación que se solidifica. ^[8]

Aplicaciones geofísicas

En geofísica , el número de Rayleigh tiene una importancia fundamental: indica la presencia y la fuerza de la convección dentro de un cuerpo fluido como el manto terrestre . El manto es un sólido que se comporta como un fluido en escalas de tiempo geológicas. El número de Rayleigh para el manto terrestre debido únicamente al calentamiento interno, Ra _H , viene dado por:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\eta \alpha k}}}$$

dónde:

• H es la tasa de producción de calor radiogénico por unidad de masa
• η es la viscosidad dinámica
• k es la conductividad térmica
• D es la profundidad del manto . ^[11]

Un número de Rayleigh para el calentamiento inferior del manto desde el núcleo, Ra _T , también se puede definir como:

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho _{0}^{2}g\beta \Delta T_{\text{sa}}D^{3}C_{P}}{\eta k}}}$$

dónde:

• Δ T _sa es la diferencia de temperatura superadiabática entre la temperatura del manto de referencia y el límite núcleo-manto
• C _P es la capacidad calorífica específica a presión constante. ^[11]

Los valores altos para el manto terrestre indican que la convección dentro de la Tierra es vigorosa y variable en el tiempo, y que la convección es responsable de casi todo el calor transportado desde el interior profundo a la superficie.

Ver también

• número de Grashof
• número de prandtl
• número de reynolds
• número de peclet
• número de nusselt
• Convección de Rayleigh-Bénard

Notas

1. Chandrasekhar, S. (1961). Estabilidad Hidrodinámica e Hidromagnética . Londres: Oxford University Press. pag. 10.ISBN​ 978-0-19-851237-0.
2. Barón Rayleigh (1916). "Sobre corrientes de convección en una capa horizontal de fluido, cuando la temperatura más alta está en la parte inferior". Londres Edimburgo Dublín Phil. revista J. Ciencias . 32 (192): 529–546. doi :10.1080/14786441608635602.
3. Çengel, Yunus; Turner, Robert; Cimbala, John (2017). Fundamentos de las ciencias de los fluidos térmicos (Quinta ed.). Nueva York, NY. ISBN 9780078027680. OCLC  929985323.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
4. Escuderos, Todd M.; Terremoto, Stephen R. (6 de octubre de 2005). "Microfluídica: física de fluidos a escala de nanolitros" (PDF) . Reseñas de Física Moderna . 77 (3): 977–1026. Código Bib : 2005RvMP...77..977S. doi :10.1103/RevModPhys.77.977.
5. Çengel, Yunus A. (2002). Transferencia de calor y masa (Segunda ed.). McGraw-Hill. pag. 466.
6. Ahlers, Günter; Grossmann, Sigfrido; Lohse, Detlef (22 de abril de 2009). "Transferencia de calor y dinámica a gran escala en convección turbulenta de Rayleigh-Bénard". Reseñas de Física Moderna . 81 (2): 503–537. arXiv : 0811.0471 . Código Bib : 2009RvMP...81..503A. doi :10.1103/RevModPhys.81.503. S2CID  7566961.
7. M. Favre-Marinet y S. Tardu, Transferencia de calor por convección, ISTE, Ltd, Londres, 2009
8. Torabi Rad, M.; Kotas, P.; Beckermann, C. (2013). "Criterio del número de Rayleigh para la formación de segregados A en lingotes y piezas fundidas de acero". Metal. Madre. Trans. A . 44A (9): 4266–4281. Código Bib : 2013MMTA...44.4266R. doi :10.1007/s11661-013-1761-4. S2CID  137652216.
9. Pickering, EJ; Al-Bermani, S.; Talamantes-Silva, J. (2014). "Aplicación de criterio de segregación A en lingotes de acero". Ciencia y Tecnología de Materiales . 31 (11): 1313. Código bibliográfico : 2015MatST..31.1313P. doi :10.1179/1743284714Y.0000000692. S2CID  137549220.
10. Lister, John R.; Neufeld, Jerome A.; Hewitt, Duncan R. (2014). "Convección de alto número de Rayleigh en un medio poroso tridimensional". Revista de mecánica de fluidos . 748 : 879–895. arXiv : 0811.0471 . Código Bib : 2014JFM...748..879H. doi :10.1017/jfm.2014.216. ISSN  1469-7645. S2CID  43758157.
11. Bunge, Hans-Peter; Richards, Mark A.; Baumgardner, John R. (1997). "Un estudio de sensibilidad de la convección del manto esférico tridimensional en el número de Rayleigh 108: efectos de la viscosidad dependiente de la profundidad, el modo de calentamiento y el cambio de fase endotérmica". Revista de investigaciones geofísicas . 102 (B6): 11991–12007. Código bibliográfico : 1997JGR...10211991B. doi : 10.1029/96JB03806 .

Referencias

• Turcotte, D.; Schubert, G. (2002). Geodinámica (2ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66186-7.

enlaces externos

• Calculadora de números de Rayleigh