Aproximación de fase aleatoria

Diagramas de burbujas, que dan como resultado el RPA cuando se suman. Las líneas continuas representan funciones de Green interactuantes o no interactuantes , las líneas discontinuas representan interacciones entre dos partículas.

La aproximación de fase aleatoria ( RPA ) es un método de aproximación en física de la materia condensada y en física nuclear . Fue introducida por primera vez por David Bohm y David Pines como un resultado importante en una serie de artículos seminales de 1952 y 1953. ^{[1] [2] [3]} Durante décadas, los físicos habían estado tratando de incorporar el efecto de las interacciones mecánicas cuánticas microscópicas entre electrones en la teoría de la materia. La RPA de Bohm y Pines da cuenta de la interacción de Coulomb apantallada débil y se utiliza comúnmente para describir la respuesta electrónica lineal dinámica de los sistemas electrónicos. Se desarrolló aún más a la forma relativista (RRPA) al resolver la ecuación de Dirac . ^{[4] [5]}

En el RPA, se supone que los electrones responden solo al potencial eléctrico total V ( r ) que es la suma del potencial perturbador externo V _ext ( r ) y un potencial de apantallamiento V _sc ( r ). Se supone que el potencial perturbador externo oscila a una sola frecuencia ω , de modo que el modelo produce a través de un método de campo autoconsistente (SCF) ^{[6] una función} dieléctrica dinámica denotada por ε _RPA ( k , ω ).

Se supone que la contribución a la función dieléctrica del potencial eléctrico total se promedia , de modo que solo contribuye el potencial en el vector de onda k . Esto es lo que se entiende por aproximación de fase aleatoria. La función dieléctrica resultante, también llamada función dieléctrica de Lindhard , ^{[7] [8]} predice correctamente una serie de propiedades del gas de electrones, incluidos los plasmones . ^[9]

A finales de los años 50, el RPA fue criticado por contar en exceso los grados de libertad y la demanda de justificación condujo a un intenso trabajo entre los físicos teóricos. En un artículo seminal, Murray Gell-Mann y Keith Brueckner demostraron que el RPA puede derivarse de una suma de diagramas de Feynman de cadena de orden principal en un gas denso de electrones. ^[10]

La consistencia de estos resultados se convirtió en una justificación importante y motivó un crecimiento muy fuerte de la física teórica a finales de los años 50 y 60.

Aplicaciones

Estado fundamental de un sistema bosónico en interacción

El vacío RPA para un sistema bosónico se puede expresar en términos de vacío bosónico no correlacionado y excitaciones de bosones originales. ${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$

donde Z es una matriz simétrica con y ${\displaystyle |Z|\leq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}}$

La normalización se puede calcular mediante

${\displaystyle \langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1}$

donde es la descomposición en valor singular de . ${\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}$ ${\displaystyle Z_{ij}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle }$

${\displaystyle =\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=}$

${\displaystyle \prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}}$

La conexión entre las excitaciones nuevas y antiguas viene dada por

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }}$.

Referencias

1. Bohm, David ; Pines, David (1 de mayo de 1951). "Una descripción colectiva de las interacciones electrónicas. I. Interacciones magnéticas". Physical Review . 82 (5). American Physical Society (APS): 625–634. Bibcode :1951PhRv...82..625B. doi :10.1103/physrev.82.625. ISSN  0031-899X.
2. Pines, David ; Bohm, David (15 de enero de 1952). "Una descripción colectiva de las interacciones electrónicas: II. Aspectos colectivos e individuales de las interacciones entre partículas". Physical Review . 85 (2). American Physical Society (APS): 338–353. Bibcode :1952PhRv...85..338P. doi :10.1103/physrev.85.338. ISSN  0031-899X.
3. Bohm, David ; Pines, David (1 de octubre de 1953). "Una descripción colectiva de las interacciones electrónicas: III. Interacciones de Coulomb en un gas de electrones degenerado". Physical Review . 92 (3). American Physical Society (APS): 609–625. Bibcode :1953PhRv...92..609B. doi :10.1103/physrev.92.609. ISSN  0031-899X.
4. Deshmukh, Pranawa C. ; Manson, Steven T. (septiembre de 2022). "Fotoionización de sistemas atómicos utilizando la aproximación de fase aleatoria que incluye interacciones relativistas". Átomos . 10 (3): 71. Bibcode :2022Atoms..10...71D. doi : 10.3390/atoms10030071 . ISSN  2218-2004.
5. Johnson, WR; Lin, CD; Cheng, KT; Lee, CM (1980-01-01). "Aproximación relativista de fase aleatoria". Physica Scripta . 21 (3–4): 409–422. Bibcode :1980PhyS...21..409J. doi :10.1088/0031-8949/21/3-4/029. ISSN  0031-8949. S2CID  94058089.
6. Ehrenreich, H.; Cohen, MH (15 de agosto de 1959). "Enfoque de campo autoconsistente para el problema de muchos electrones". Physical Review . 115 (4). American Physical Society (APS): 786–790. Bibcode :1959PhRv..115..786E. doi :10.1103/physrev.115.786. ISSN  0031-899X.
7. J. Lindhard (1954). "Sobre las propiedades de un gas de partículas cargadas" (PDF) . Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-Fysiske Meddelelser . 28 (8).
8. NW Ashcroft y ND Mermin, Física del estado sólido (Thomson Learning, Toronto, 1976)
9. GD Mahan, Many-Particle Physics , 2.ª edición (Plenum Press, Nueva York, 1990)
10. Gell-Mann, Murray; Brueckner, Keith A. (15 de abril de 1957). "Energía de correlación de un gas de electrones a alta densidad" (PDF) . Physical Review . 106 (2). American Physical Society (APS): 364–368. Bibcode :1957PhRv..106..364G. doi :10.1103/physrev.106.364. ISSN  0031-899X. S2CID  120701027.