Resumen de Ramanujan

Técnicas matemáticas para sumar series infinitas divergentes

La suma de Ramanujan es una técnica inventada por el matemático Srinivasa Ramanujan para asignar un valor a las series infinitas divergentes . Aunque la suma de Ramanujan de una serie divergente no es una suma en el sentido tradicional, tiene propiedades que la hacen matemáticamente útil en el estudio de las series infinitas divergentes , para las que la suma convencional no está definida.

Suma

Como no existen propiedades de una suma total, la suma de Ramanujan funciona como una propiedad de las sumas parciales. Si tomamos la fórmula de suma de Euler-Maclaurin junto con la regla de corrección utilizando números de Bernoulli , vemos que: ^{[ aclaración necesaria ] [ explicación adicional necesaria ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)=\sum _{k=0}^{n}f(k)-{\frac {f(0)+f(n)}{2}}\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}$

Ramanujan ^[1] escribió esto nuevamente para diferentes límites de la integral y la suma correspondiente para el caso en el que p tiende al infinito :

${\displaystyle \sum _{k=a}^{x}f(k)=C+\int _{a}^{x}f(t)dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}$

donde C es una constante específica de la serie y su continuación analítica y los límites de la integral no fueron especificados por Ramanujan, pero presumiblemente fueron los dados anteriormente. Comparando ambas fórmulas y suponiendo que R tiende a 0 cuando x tiende a infinito, vemos que, en un caso general, para funciones f ( x ) sin divergencia en x  = 0:

${\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}$

donde Ramanujan supuso que Al tomar normalmente recuperamos la suma usual para series convergentes. Para funciones f ( x ) sin divergencia en x = 1, obtenemos: ${\displaystyle a=0.}$ ${\displaystyle a=\infty }$

${\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}$

alternativamente, aplicando sumas suavizadas.

La versión convergente de la suma para funciones con condición de crecimiento apropiada es entonces ^{[ cita requerida ]} :

${\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}$

Para comparar, consulte la fórmula de Abel-Plana .

Suma de series divergentes de Ramanujan

En el texto siguiente se indica "suma de Ramanujan". Esta fórmula apareció originalmente en uno de los cuadernos de Ramanujan, sin ninguna anotación que indicara que ejemplificaba un nuevo método de suma. ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$

Por ejemplo, la de 1 − 1 + 1 − ⋯ es: ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$

${\displaystyle 1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad ({\mathfrak {R}}).}$

Ramanujan había calculado "sumas" de series divergentes conocidas. Es importante mencionar que las sumas de Ramanujan no son las sumas de las series en el sentido habitual, ^{[2] [3]} es decir, las sumas parciales no convergen a este valor, que se denota con el símbolo En particular, la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ se calculó como: ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}).}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$

${\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

Extendiéndolo a potencias positivas pares, esto dio:

${\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad ({\mathfrak {R}})}$

y para potencias impares el enfoque sugirió una relación con los números de Bernoulli :

${\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

Se ha propuesto utilizar C (1) en lugar de C (0) como resultado de la suma de Ramanujan, ya que entonces se puede asegurar que una serie admite una y sólo una suma de Ramanujan, definida como el valor en 1 de la única solución de la ecuación en diferencias que verifica la condición . ^[4] ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$ ${\displaystyle R(x)-R(x+1)=f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{1}^{2}R(t)\,dt=0}$

Esta demostración de la sumatoria de Ramanujan (denotada como ) no coincide con la sumatoria de Ramanujan definida anteriormente, C (0), ni con la sumatoria de series convergentes, pero tiene propiedades interesantes, tales como: Si R ( x ) tiende a un límite finito cuando x  → 1, entonces la serie es convergente, y tenemos ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}$

En particular tenemos:

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma }$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Extensión a integrales

La suma de Ramanujan se puede extender a las integrales; por ejemplo, utilizando la fórmula de suma de Euler-Maclaurin, se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }x^{m-s}\,dx&={\frac {m-s}{2}}\int _{a}^{\infty }\,dx+\zeta (s-m)-\sum _{i=1}^{a}\left[i^{m-s}+a^{m-s}\right]\\&\qquad -\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\theta (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}\,dx\end{aligned}}}$

que es la extensión natural a las integrales del algoritmo de regularización Zeta.

Esta ecuación de recurrencia es finita, ya que para , ${\displaystyle m-2r<-1}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}.}$

Tenga en cuenta que esto implica (ver regularización de la función zeta )

${\displaystyle I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dx\,x^{n}}$.

Con , la aplicación de esta resumición de Ramanujan conduce a resultados finitos en la renormalización de las teorías cuánticas de campos . ${\displaystyle \Lambda \to \infty }$

Véase también

• Suma de Borel
• Resumen de Cesáro
• Serie divergente
• La suma de Ramanujan
• Fórmula de Abel-Plana

Referencias

1. Bruce C. Berndt, Cuadernos de Ramanujan, Teoría de las series divergentes de Ramanujan , Capítulo 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), págs. 133-149.
2. "La fórmula de Euler-Maclaurin, los números de Bernoulli, la función zeta y la continuación analítica con variables reales" . Consultado el 20 de enero de 2014 .
3. "Las series infinitas son raras" . Consultado el 20 de enero de 2014 .
4. Éric Delabaere, Resumen de Ramanujan, Seminario de algoritmos 2001-2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), págs.