Radio espectral conjunto

En matemáticas, el radio espectral conjunto es una generalización de la noción clásica de radio espectral de una matriz, a conjuntos de matrices. En los últimos años, esta noción ha encontrado aplicaciones en un gran número de campos de la ingeniería y sigue siendo un tema de investigación activa.

Descripción general

El radio espectral conjunto de un conjunto de matrices es la tasa de crecimiento asintótica máxima de los productos de las matrices tomadas en ese conjunto. Para un conjunto finito (o más generalmente compacto) de matrices, el radio espectral conjunto se define de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},}$

${\displaystyle \rho ({\mathcal {M}})=\lim _{k\to \infty }\max {\{\|A_{i_{1}}\cdots A_{i_{k}}\|^{1/k}:A_{i}\in {\mathcal {M}}\}}.\,}$

Se puede demostrar que el límite existe y que la cantidad en realidad no depende de la norma matricial elegida (esto es cierto para cualquier norma, pero es particularmente fácil de ver si la norma es submultiplicativa ). El radio espectral conjunto fue introducido en 1960 por Gian-Carlo Rota y Gilbert Strang , ^[1] dos matemáticos del MIT , pero empezó a llamar la atención con el trabajo de Ingrid Daubechies y Jeffrey Lagarias . ^[2] Demostraron que el radio espectral conjunto se puede utilizar para describir las propiedades de suavidad de ciertas funciones wavelet . ^[3] Desde entonces se ha propuesto un gran número de aplicaciones. Se sabe que la cantidad de radio espectral conjunto es NP-difícil de calcular o aproximar, incluso cuando el conjunto consta de sólo dos matrices con todas las entradas distintas de cero de las dos matrices que están obligadas a ser iguales. ^[4] Además, la cuestión " " es un problema indecidible . ^[5] Sin embargo, en los últimos años se ha avanzado mucho en su comprensión y parece que en la práctica el radio espectral conjunto a menudo puede calcularse con una precisión satisfactoria y que, además, puede aportar conocimientos interesantes en problemas de ingeniería y matemáticos. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \rho \leq 1?}$

Cálculo

Algoritmos de aproximación

A pesar de los resultados teóricos negativos sobre la computabilidad del radio espectral conjunto, se han propuesto métodos que funcionan bien en la práctica. Incluso se conocen algoritmos que pueden alcanzar una precisión arbitraria en un tiempo computable a priori. Se puede considerar que estos algoritmos intentan aproximar la bola unitaria de una norma vectorial particular, llamada norma extrema. ^[6] Generalmente se distingue entre dos familias de tales algoritmos: la primera familia, llamada métodos de norma politopo , construye la norma extrema calculando largas trayectorias de puntos. ^{[7] [8]} Una ventaja de estos métodos es que en los casos favorables se puede encontrar el valor exacto del radio espectral conjunto y proporcionar un certificado de que este es el valor exacto.

La segunda familia de métodos se aproxima a la norma extrema con técnicas de optimización modernas , como la aproximación a la norma elipsoide, ^[9] programación semidefinida , ^{[10] [11]} suma de cuadrados , ^[12] y programación cónica . ^[13] La ventaja de estos métodos es que son fáciles de implementar y, en la práctica, proporcionan en general los mejores límites del radio espectral conjunto.

La conjetura de la finitud

Relacionada con la computabilidad del radio espectral conjunto está la siguiente conjetura: ^[14]

"Para cualquier conjunto finito de matrices existe un producto de matrices en este conjunto tal que ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},}$ ${\displaystyle A_{1}\dots A_{t}}$

${\displaystyle \rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.}$"

En la ecuación anterior " " se refiere al radio espectral clásico de la matriz. ${\displaystyle \rho (A_{1}\dots A_{t})}$ ${\displaystyle A_{1}\dots A_{t}.}$

Esta conjetura, propuesta en 1995, se demostró que era falsa en 2003. ^[15] El contraejemplo proporcionado en esa referencia utiliza ideas teóricas de medidas avanzadas. Posteriormente, se han proporcionado muchos otros contraejemplos, incluido un contraejemplo elemental que utiliza matrices de propiedades combinatorias simples ^[16] y un contraejemplo basado en propiedades de sistemas dinámicos. ^[17] Recientemente se ha propuesto un contraejemplo explícito en. ^[18] Muchas preguntas relacionadas con esta conjetura aún están abiertas, como por ejemplo la cuestión de saber si se cumple para pares de matrices binarias . ^{[19] [20]}

Aplicaciones

El radio espectral conjunto se introdujo para su interpretación como condición de estabilidad para sistemas dinámicos de conmutación en tiempo discreto . De hecho, el sistema definido por las ecuaciones

${\displaystyle x_{t+1}=A_{t}x_{t},\quad A_{t}\in {\mathcal {M}}\,\forall t}$

es estable si y sólo si ${\displaystyle \rho ({\mathcal {M}})<1.}$

El radio espectral conjunto se hizo popular cuando Ingrid Daubechies y Jeffrey Lagarias demostraron que rige la continuidad de ciertas funciones wavelet. Desde entonces, ha encontrado numerosas aplicaciones, que van desde la teoría de números a la teoría de la información, el consenso de agentes autónomos , la combinatoria de las palabras ,...

Nociones relacionadas

El radio espectral conjunto es la generalización del radio espectral de una matriz para un conjunto de varias matrices. Sin embargo, se pueden definir muchas más cantidades al considerar un conjunto de matrices: el subradio espectral conjunto caracteriza la tasa mínima de crecimiento de los productos en el semigrupo generado por . El radio p caracteriza la tasa de crecimiento del promedio de las normas de los productos del semigrupo. El exponente de Lyapunov del conjunto de matrices caracteriza la tasa de crecimiento del promedio geométrico. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle L_{p}}$

Referencias

1. GC Rota y G. Strang. "Una nota sobre el radio espectral conjunto". Actas de la Academia de los Países Bajos, 22:379–381, 1960. [1]
2. Vicente D. Blondel. El nacimiento del radio espectral conjunto: una entrevista con Gilbert Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones, 428:10, págs. 2261–2264, 2008.
3. I. Daubechies y JC Lagarias. "Ecuaciones en diferencias de dos escalas. ii. regularidad local, productos infinitos de matrices y fractales". Revista SIAM de Análisis Matemático, 23, págs. 1031–1079, 1992.
4. JN Tsitsiklis y VD Blondel. "Exponentes de pares de matrices de Lyapunov, una corrección". Matemáticas de Control, Señales y Sistemas , 10, p. 381, 1997.
5. Vincent D. Blondel, John N. Tsitsiklis. "La acotación de todos los productos de un par de matrices es indecidible". Cartas de sistemas y control, 41:2, págs. 135-140, 2000.
6. N. Barabanov. "Indicadores de Lyapunov de inclusiones discretas i-iii". Automatización y control remoto, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.
7. VY Protasov. "El radio espectral conjunto y conjuntos invariantes de operadores lineales". Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2(1):205–231, 1996.
8. N. Guglielmi, F. Wirth y M. Zennaro. "Resultados de extremalidad de politopos complejos para familias de matrices". Revista SIAM sobre análisis y aplicaciones de matrices, 27(3):721–743, 2005.
9. Vincent D. Blondel, Yurii Nesterov y Jacques Theys, Sobre la precisión de la aproximación de la norma elipsoide del radio espectral conjunto, Álgebra lineal y sus aplicaciones, 394:1, págs. 91-107, 2005.
10. T. Ando y M.-H. Shih. "Contractibilidad simultánea". Revista SIAM sobre análisis y aplicaciones de matrices, 19(2):487–498, 1998.
11. VD Blondel e Y. Nesterov. "Aproximaciones computacionalmente eficientes del radio espectral conjunto". Revista SIAM de análisis matricial, 27(1):256–272, 2005.
12. P. Parrilo y A. Jadbabaie. "Aproximación del radio espectral conjunto mediante suma de cuadrados". Álgebra lineal y sus aplicaciones, 428(10):2385–2402, 2008.
13. V. Protasov, RM Jungers y VD Blondel. "Características espectrales conjuntas de matrices: un enfoque de programación cónica". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices, 2008.
14. JC Lagarias e Y. Wang. "La conjetura de finitud para el radio espectral generalizado de un conjunto de matrices". Álgebra lineal y sus aplicaciones, 214:17–42, 1995.
15. T. Bousch y J. Mairesse. "Optimización de altura asintótica para IFS tópico, montones de Tetris y la conjetura de finitud". Revista de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, 15(1):77–111, 2002.
16. VD Blondel, J. Theys y AA Vladimirov, Un contraejemplo elemental de la conjetura de finitud, SIAM Journal on Matrix Analysis, 24:4, págs. 963–970, 2003.
17. V. Kozyakin Estructura de trayectorias extremas de sistemas lineales discretos y la conjetura de finitud, Automat. Control remoto, 68 (2007), núm. 1, 174–209/
18. Kevin G. Hare, Ian D. Morris, Nikita Sidorov, Jacques Theys. Un contraejemplo explícito de la conjetura de finitud de Lagarias-Wang, Advances in Mathematics , 226, págs. 4667-4701, 2011.
19. A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra Capizzano y M. Zennaro. "Propiedad de finitud de pares de matrices de signos 2 × 2 mediante normas de politopos extremos reales". Álgebra lineal y sus aplicaciones, 2010.
20. RM Jungers y VD Blondel. "Sobre la propiedad de finitud de las matrices racionales". Álgebra lineal y sus aplicaciones, 428(10):2283–2295, 2008.

Otras lecturas

• Rafael M. Jungers (2009). El radio espectral conjunto, Teoría y aplicaciones . Saltador. ISBN 978-3-540-95979-3.

• Vicente D. Blondel; Michael Karow; Vladimir Protassov; Fabián R. Wirth, eds. (2008). "Álgebra lineal y sus aplicaciones: número especial sobre el radio espectral conjunto". Álgebra lineal y sus aplicaciones . Elsevier. 428 (10).

• Antonio Cicone (2011). "Tesis doctoral. Propiedades espectrales de familias de matrices. Parte III" (PDF) .

• Jacques Theys (2005). "Tesis doctoral. Radio espectral conjunto: teoría y aproximaciones" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 13 de junio de 2007.