Álgebra de Lie cuasi-Frobenius

En matemáticas , un álgebra de Lie cuasi-Frobenius

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$

sobre un campo es un álgebra de Lie ${\displaystyle k}$

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,])}$

equipado con una forma bilineal antisimétrica no degenerada

${\displaystyle \beta :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to k}$, que es un cociclo del álgebra de Lie 2 con valores en . En otras palabras, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)+\beta \left(\left[Z,X\right],Y\right)+\beta \left(\left[Y,Z\right],X\right)=0}$

para todos , , en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es un colímite, lo que significa que existe una forma lineal tal que ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to k}$

${\displaystyle \beta (X,Y)=f(\left[X,Y\right]),}$

entonces

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$

Se llama álgebra de Lie de Frobenius .

Equivalencia con álgebras pre-Lie con forma bilineal antisimétrica invariante no degenerada

Si es un álgebra de Lie cuasi-Frobenius, se puede definir otro producto bilineal mediante la fórmula ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \triangleleft }$

${\displaystyle \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)=\beta \left(Z\triangleleft Y,X\right)}$.

Entonces uno tiene y ${\displaystyle \left[X,Y\right]=X\triangleleft Y-Y\triangleleft X}$

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},\triangleleft )}$

es un álgebra anterior a Lie .

Véase también

• Lie coalgebra
• Biálgebra de Lie
• Cohomología del álgebra de Lie
• Álgebra de Frobenius
• Anillo cuasi-Frobenius

Referencias

• Jacobson, Nathan, Álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN  0-486-63832-4
• Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley, Una guía para los grupos cuánticos , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .