Cromodinámica cuántica perturbativa

Aplicación de métodos perturbativos a la cromodinámica cuántica, el estudio de la interacción fuerte.

La cromodinámica cuántica perturbativa (también QCD perturbativa ) es un subcampo de la física de partículas en el que la teoría de las interacciones fuertes, la cromodinámica cuántica (QCD), se estudia utilizando el hecho de que la constante de acoplamiento fuerte es pequeña en interacciones de alta energía o de corta distancia, por lo que permitiendo aplicar técnicas de la teoría de la perturbación . En la mayoría de las circunstancias, hacer predicciones comprobables con QCD es extremadamente difícil, debido al número infinito de posibles interacciones topológicamente no equivalentes. En distancias cortas, el acoplamiento es lo suficientemente pequeño como para que este número infinito de términos pueda aproximarse con precisión mediante un número finito de términos. Aunque solo es aplicable a altas energías, este enfoque ha dado como resultado las pruebas de QCD más precisas hasta la fecha ^{[ cita necesaria ]} . ${\displaystyle \alpha _{s}}$

Una prueba importante de QCD perturbativa es la medición de la relación de tasas de producción para y . Dado que solo se considera la tasa de producción total, la suma de todos los hadrones en estado final cancela la dependencia del tipo de hadrón específico, y esta relación se puede calcular en QCD perturbativa. ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to {\text{hadrons}}}$ ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to \mu ^{+}\mu ^{-}}$

La mayoría de los procesos de interacción fuerte no se pueden calcular directamente con QCD perturbativa, ya que no se pueden observar quarks y gluones libres debido al confinamiento del color . Por ejemplo, la estructura de los hadrones tiene una naturaleza no perturbativa . Para dar cuenta de esto, los físicos ^{[ ¿quién? ]} desarrolló el teorema de factorización QCD, que separa la sección transversal en dos partes: la sección transversal de la parte de corta distancia, calculable perturbativamente y dependiente del proceso , y las funciones universales de larga distancia. Estas funciones universales de larga distancia se pueden medir con ajuste global a los experimentos e incluyen funciones de distribución de partones , funciones de fragmentación , funciones de correlación de múltiples partones, distribuciones de partones generalizadas , amplitudes de distribución generalizadas y muchos tipos de factores de forma . Existen varias colaboraciones para cada tipo de funciones universales de larga distancia. Se han convertido en una parte importante de la física de partículas moderna .

Formulación matemática de QCD.

La cromodinámica cuántica se formula en términos de la densidad lagrangiana.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi }$

Expresiones en lagrangiano

contenido de la materia

El contenido de materia del lagrangiano es un campo de espinores y un campo de calibre , también conocido como campo de gluones. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

El campo de espinor tiene índices de espín sobre los que actúan las matrices gamma , así como índices de color sobre los que actúa la derivada covariante . Formalmente, el campo de espín es entonces una función del espacio-tiempo valorado como un producto tensorial de un vector de espín y un vector de color. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

La cromodinámica cuántica es una teoría de calibre y por eso tiene un grupo de calibre asociado , que es un grupo de Lie compacto . Un vector de color es un elemento de algún espacio de representación de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El campo calibre se valora en el álgebra de Lie de . De manera similar al campo de espinor, el campo de calibre también tiene un índice de espacio-tiempo y, por lo tanto, se valora como un covector tensor con un elemento de . En la teoría de Lie, siempre se puede encontrar una base tal que . En geometría diferencial se conoce como conexión . ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t^{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{tr}}(t^{a}t^{b})=\delta ^{ab}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Diagramas de Feynman para propagadores e interacciones en QCD.

El campo calibre no aparece explícitamente en el lagrangiano sino a través de la curvatura definida ${\displaystyle F_{\mu \nu },}$

$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$$

tensor de intensidad de campo de gluonesforma de curvaturaconstante de acoplamiento ${\displaystyle g}$

Al expandirse y utilizar la notación de barra diagonal de Feynman , el lagrangiano puede escribirse esquemáticamente en una forma más elegante. ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi }$

Lagrangiano de calibre fijo

Si bien esta expresión es matemáticamente elegante, con simetría de calibre manifiesta, para cálculos perturbativos es necesario fijar un calibre. El procedimiento de fijación del ancho de vía fue desarrollado por Faddeev y Popov . Requiere la introducción de campos fantasma que se valoran en Después del procedimiento de fijación del calibre, se escribe el lagrangiano. ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}-{\frac {1}{2\xi }}(\partial ^{\mu }A_{\mu })^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi -{\bar {c}}^{a}\partial ^{\mu }(D_{\mu }c)^{a}}$

¿Dónde está el parámetro de fijación del calibre? La elección se conoce como calibre Feynman . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =1}$

Después de ampliar la curvatura y las derivadas covariantes, las reglas de Feynman para QCD se pueden derivar mediante métodos de integral de trayectoria .

Todos los diagramas de un bucle 1PI (una partícula que interactúa) en QCD. La integral de bucle correspondiente a cada diagrama se puede encontrar utilizando las reglas de Feynman. Luego, las integrales se evalúan mediante regularización dimensional.

Renormalización

Las técnicas para la renormalización de las teorías de calibre y QCD fueron desarrolladas y llevadas a cabo por 't Hooft . Se sabe que QCD, para un pequeño número de espinores, exhibe libertad asintótica .

Renormalización de un bucle

Demostrar que QCD es renormalizable en el orden de un bucle requiere la evaluación de integrales de bucle , que pueden derivarse de las reglas de Feynman y evaluarse mediante regularización dimensional .

enlaces externos

• Factorización de procesos duros en QCD

Referencias

• Peskin, ME, Schroeder, DV (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa de Westview.