Punto recurrente

En matemáticas , un punto recurrente de una función f es un punto que se encuentra en su propio límite establecido por f . Cualquier entorno que contenga el punto recurrente también contendrá (un número contable de) iteraciones de este.

Definición

Sea un espacio de Hausdorff y una función. Se dice que un punto es recurrente (para ) si , es decir, si pertenece a su conjunto - límite . Esto significa que para cada entorno de existe tal que . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in \omega (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle f^{n}(x)\in U}$

El conjunto de puntos recurrentes de se suele denotar y se denomina conjunto recurrente de . Su cierre se denomina centro de Birkhoff de , ^[2] y aparece en el trabajo de George David Birkhoff sobre sistemas dinámicos . ^{[3] [4]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Cada punto recurrente es un punto no errante , ^[1] por lo tanto, si es un homeomorfismo y es compacto , entonces es un subconjunto invariante del conjunto no errante de (y puede ser un subconjunto propio ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle f}$

Referencias

1. Irwin, MC (2001), Sistemas dinámicos suaves, Serie avanzada en dinámica no lineal, vol. 17, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, pág. 47, doi :10.1142/9789812810120, ISBN 981-02-4599-8, Sr.  1867353.
2. Ciervo, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004), Enciclopedia de topología general, Elsevier, p. 390, ISBN 0-444-50355-2, Sr.  2049453.
3. Coven, Ethan M.; Hedlund, GA (1980), " para mapas del intervalo", Actas de la American Mathematical Society , 79 (2): 316–318, doi : 10.1090/S0002-9939-1980-0565362-0 , JSTOR  2043258, MR  0565362 ${\displaystyle {\bar {P}}={\bar {R}}}$.
4. Birkhoff, GD (1927), "Capítulo 7", Sistemas dinámicos , Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 9, Providence, RI: American Mathematical SocietyComo citan Coven y Hedlund (1980).

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