Pruebas relacionadas con la distribución chi-cuadrado

Las siguientes son pruebas de varias características relacionadas con la distribución chi-cuadrado .

Derivaciones del pdf

Derivación de la función de densidad de probabilidad para un grado de libertad

Sea la variable aleatoria Y definida como Y = X ² donde X tiene distribución normal con media 0 y varianza 1 (es decir X  ~  N (0,1)).

Entonces,
${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\text{for}}~y<0,&~~F_{Y}(y)=P(Y<y)=0~~{\text{and}}\\{\text{for}}~y\geq 0,&~~F_{Y}(y)=P(Y<y)=P(X^{2}<y)=P(|X|<{\sqrt {y}})=P(-{\sqrt {y}}<X<{\sqrt {y}})\\~~&=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}})-(1-F_{X}({\sqrt {y}}))=2F_{X}({\sqrt {y}})-1\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&={\tfrac {d}{dy}}F_{Y}(y)=2{\tfrac {d}{dy}}F_{X}({\sqrt {y}})-0=2{\frac {d}{dy}}\left(\int _{-\infty }^{\sqrt {y}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt\right)\\&=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {y}{2}}}({\sqrt {y}})'_{y}=2{\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\left({\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}}\right)\\&={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}y^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\end{aligned}}}$

Donde y son la cdf y la pdf de las variables aleatorias correspondientes. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

Entonces ${\displaystyle Y=X^{2}\sim \chi _{1}^{2}.}$

Prueba alternativa utilizando directamente la fórmula del cambio de variable

La fórmula del cambio de variable (derivada implícitamente anteriormente), para una transformación monótona , es: ${\displaystyle y=g(x)}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

En este caso el cambio no es monótono, porque cada valor de tiene dos valores correspondientes de (uno positivo y otro negativo). Sin embargo, debido a la simetría, ambas mitades se transformarán de manera idéntica, es decir ${\displaystyle \scriptstyle Y}$ ${\displaystyle \scriptstyle X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

En este caso, la transformación es: , y su derivada es ${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$ ${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

Así que aquí:

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

Y se obtiene la distribución chi-cuadrado, notando la propiedad de la función gamma : . ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$

Derivación de la función de densidad de probabilidad para dos grados de libertad

Existen varios métodos para obtener una distribución de chi-cuadrado con 2 grados de libertad. A continuación se muestra uno basado en la distribución con 1 grado de libertad.

Supongamos que y son dos variables independientes que satisfacen y , de modo que las funciones de densidad de probabilidad de y son respectivamente: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\sim \chi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle Y\sim \chi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}x^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x}{2}}}}$

y por supuesto . Entonces, podemos derivar la distribución conjunta de : ${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(y)}$ ${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle f(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y)={\frac {1}{2\pi }}(xy)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x+y}{2}}}}$

donde . Además ^{[ se necesita una aclaración ]} , sea y , podemos obtener que: ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})^{2}=\pi }$ ${\displaystyle A=xy}$ ${\displaystyle B=x+y}$

${\displaystyle x={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

y

${\displaystyle y={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

o, inversamente

${\displaystyle x={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

y

${\displaystyle y={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}}$

Como las dos políticas de cambio de variables son simétricas, tomamos la superior y multiplicamos el resultado por 2. El determinante jacobiano se puede calcular como ^{[ aclaración necesaria ]} :

${\displaystyle \operatorname {Jacobian} \left({\frac {x,y}{A,B}}\right)={\begin{vmatrix}-(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1+B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1-B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\\end{vmatrix}}=-(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Ahora podemos cambiar a ^{[ aclaración necesaria ]} : ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(A,B)}$

${\displaystyle f(A,B)=2\times {\frac {1}{2\pi }}A^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {B}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}$

donde la constante principal 2 es tener en cuenta las dos políticas de cambio de variable. Finalmente, integramos ^{[ aclaración necesaria ]} para obtener la distribución de , es decir : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x+y}$

${\displaystyle f(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {B^{2}}{4}}A^{-{\frac {1}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}dA}$

Sustituyendo obtenemos: ${\displaystyle A={\frac {B^{2}}{4}}\sin ^{2}(t)}$

${\displaystyle f(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\,dt}$

Entonces el resultado es:

${\displaystyle f(B)={\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2}}}$

Derivación de la pdf paraagrados de libertad

Consideremos que las k muestras representan un único punto en un espacio de k dimensiones. La distribución de chi cuadrado para k grados de libertad estará dada por: ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle P(Q)\,dQ=\int _{\mathcal {V}}\prod _{i=1}^{k}(N(x_{i})\,dx_{i})=\int _{\mathcal {V}}{\frac {e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\,dx_{1}\,dx_{2}\cdots dx_{k}}$

donde es la distribución normal estándar y es el volumen de la capa elemental en Q ( x ), que es proporcional a la superficie ( k  − 1)-dimensional en el espacio k para el cual ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}}$

Se puede ver que esta superficie es la superficie de una bola de dimensión k o, alternativamente, una esfera n donde n  =  k  - 1 con radio , y que el término en el exponente se expresa simplemente en términos de Q . Dado que es una constante, se puede eliminar del interior de la integral. ${\displaystyle R={\sqrt {Q}}}$

${\displaystyle P(Q)\,dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\int _{\mathcal {V}}dx_{1}\,dx_{2}\cdots dx_{k}}$

La integral ahora es simplemente el área de superficie A de la ( k  − 1)-esfera multiplicada por el espesor infinitesimal de la esfera, que es

${\displaystyle dR={\frac {dQ}{2Q^{1/2}}}.}$

El área de una ( k  − 1)-esfera es:

${\displaystyle A={\frac {2R^{k-1}\pi ^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}}$

Sustituyendo, dándose cuenta de que y cancelando términos se obtiene: ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

${\displaystyle P(Q)\,dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}A\,dR={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}Q^{k/2-1}e^{-Q/2}\,dQ}$