Prueba de aditividad de Tukey

En estadística , la prueba de aditividad de Tukey , ^[1] llamada así por John Tukey , es un enfoque utilizado en ANOVA de dos vías ( análisis de regresión que involucra dos factores cualitativos) para evaluar si las variables factoriales ( variables categóricas ) están relacionadas de manera aditiva con el valor esperado de la variable de respuesta. Se puede aplicar cuando no hay valores replicados en el conjunto de datos, una situación en la que es imposible estimar directamente una estructura de regresión no aditiva completamente general y aún tener información restante para estimar la varianza del error. La estadística de prueba propuesta por Tukey tiene un grado de libertad bajo la hipótesis nula, por lo tanto, a menudo se la llama "prueba de un grado de libertad de Tukey".

Introducción

La configuración más común para la prueba de aditividad de Tukey es un análisis de varianza factorial de dos vías (ANOVA) con una observación por celda. La variable de respuesta Y _ij se observa en una tabla de celdas con las filas indexadas por i  = 1,...,  m y las columnas indexadas por j  = 1,...,  n . Las filas y columnas corresponden típicamente a varios tipos y niveles de tratamiento que se aplican en combinación.

El modelo aditivo establece que la respuesta esperada se puede expresar como EY _ij  =  μ  +  α _i  +  β _j , donde α _i y β _j son valores constantes desconocidos. Los parámetros desconocidos del modelo se estiman normalmente como

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\widehat {\alpha }}_{i}={\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{j}={\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

donde Y _{i •} es la media de la ^{i ésima} fila de la tabla de datos, Y _{• j} es la media de la j ^ésima columna de la tabla de datos, e Y _•• es la media general de la tabla de datos.

El modelo aditivo se puede generalizar para permitir efectos de interacción arbitrarios estableciendo EY _ij  =  μ  +  α _i  +  β _j  +  γ _ij . Sin embargo, después de ajustar el estimador natural de γ _ij ,

${\displaystyle {\widehat {\gamma }}_{ij}=Y_{ij}-({\widehat {\mu }}+{\widehat {\alpha }}_{i}+{\widehat {\beta }}_{j}),}$

los valores ajustados

${\displaystyle {\widehat {Y}}_{ij}={\widehat {\mu }}+{\widehat {\alpha }}_{i}+{\widehat {\beta }}_{j}+{\widehat {\gamma }}_{ij}\equiv Y_{ij}}$

se ajustan exactamente a los datos. Por lo tanto, no quedan grados de libertad para estimar la varianza σ ² y no se pueden realizar pruebas de hipótesis sobre γ _ij .

Por lo tanto, Tukey propuso un modelo de interacción más restringido de la forma

${\displaystyle \operatorname {E} Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\lambda \alpha _{i}\beta _{j}}$

Al probar la hipótesis nula de que λ = 0, podemos detectar algunas desviaciones de la aditividad basadas únicamente en el parámetro único λ.

Método

Para realizar la prueba de Tukey, establezca

${\displaystyle SS_{A}\equiv n\sum _{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}$

${\displaystyle SS_{B}\equiv m\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}$

${\displaystyle SS_{AB}\equiv {\frac {(\sum _{ij}Y_{ij}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }))^{2}}{\sum _{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}}}$

${\displaystyle SS_{T}\equiv \sum _{ij}(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}$

${\displaystyle SS_{E}\equiv SS_{T}-SS_{A}-SS_{B}-SS_{AB}}$

Luego utilice la siguiente estadística de prueba ^[2]

${\displaystyle {\frac {SS_{AB}/1}{MS_{E}}}.}$

Bajo la hipótesis nula, el estadístico de prueba tiene una distribución F con 1,  q grados de libertad, donde q  =  mn  − ( m  +  n ) son los grados de libertad para estimar la varianza del error.

Véase también

• Prueba de rango de Tukey para comparaciones múltiples

Referencias

1. Tukey, John (1949). "Un grado de libertad para la no aditividad". Biometrics . 5 (3): 232–242. doi :10.2307/3001938. JSTOR  3001938.
2. Alin, A. y Kurt, S. (2006). “Prueba de no aditividad (interacción) en tablas ANOVA de dos vías sin replicación”. Métodos estadísticos en investigación médica 15 , 63–85.