Criterio de Cramér-von Mises

prueba estadistica

En estadística, el criterio de Cramér-von Mises es un criterio utilizado para juzgar la bondad de ajuste de una función de distribución acumulativa en comparación con una función de distribución empírica determinada , o para comparar dos distribuciones empíricas. También se utiliza como parte de otros algoritmos, como la estimación de distancia mínima . Se define como ${\displaystyle F^{*}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \omega ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }[F_{n}(x)-F^{*}(x)]^{2}\,\mathrm {d} F^{*}(x)}$

En aplicaciones de una muestra es la distribución teórica y es la distribución observada empíricamente . Alternativamente, las dos distribuciones pueden estimarse empíricamente; esto se llama el caso de dos muestras. ${\displaystyle F^{*}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

El criterio lleva el nombre de Harald Cramér y Richard Edler von Mises, quienes lo propusieron por primera vez en 1928-1930. ^{[1] [2]} La generalización a dos muestras se debe a Anderson . ^[3]

La prueba de Cramér-von Mises es una alternativa a la prueba de Kolmogorov-Smirnov (1933). ^[4]

Prueba de Cramér-von Mises (una muestra)

Sean los valores observados, en orden creciente. Entonces la estadística es ^{[3] : 1153  [5]} ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle T=n\omega ^{2}={\frac {1}{12n}}+\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {2i-1}{2n}}-F(x_{i})\right]^{2}.}$

Si este valor es mayor que el valor tabulado, entonces se puede rechazar la hipótesis de que los datos provienen de la distribución. ${\displaystyle F}$

prueba de watson

Una versión modificada de la prueba de Cramér-von Mises es la prueba de Watson ^[6] que utiliza el estadístico U ² , donde ^[5]

${\displaystyle U^{2}=T-n({\bar {F}}-{\tfrac {1}{2}})^{2},}$

dónde

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}F(x_{i}).}$

Prueba de Cramér-von Mises (dos muestras)

Sean y los valores observados en la primera y segunda muestra respectivamente, en orden creciente. Sean los rangos de x s en la muestra combinada, y sean los rangos de y s en la muestra combinada. Anderson ^{[3] : 1149} muestra que ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{M}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{M}}$

${\displaystyle T={\frac {NM}{N+M}}\omega ^{2}={\frac {U}{NM(N+M)}}-{\frac {4MN-1}{6(M+N)}}}$

donde U se define como

${\displaystyle U=N\sum _{i=1}^{N}(r_{i}-i)^{2}+M\sum _{j=1}^{M}(s_{j}-j)^{2}}$

Si el valor de T es mayor que los valores tabulados, ^{[3] : 1154–1159} se puede rechazar la hipótesis de que las dos muestras provienen de la misma distribución. (Algunos libros ^{[ especificar ]} dan valores críticos para U , lo cual es más conveniente, ya que evita la necesidad de calcular T mediante la expresión anterior. La conclusión será la misma).

Lo anterior supone que no hay duplicados en las secuencias , y . So es único y su rango está en la lista ordenada . Si hay duplicados y hay una serie de valores idénticos en la lista ordenada, entonces un enfoque común es el método de rango medio ^[7] : asigne a cada duplicado un "rango" de . En las ecuaciones anteriores, en las expresiones y , los duplicados pueden modificar las cuatro variables ,, y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle (i+j)/2}$ ${\displaystyle (r_{i}-i)^{2}}$ ${\displaystyle (s_{j}-j)^{2}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle j}$

Referencias

1. Cramér, H. (1928). "Sobre la composición de errores elementales". Revista actuarial escandinava . 1928 (1): 13–74. doi :10.1080/03461238.1928.10416862.
2. von Mises, RE (1928). Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit . Julio Springer.
3. Anderson, TW (1962). "Sobre la distribución del criterio de Cramer-von Mises de dos muestras" (PDF) . Anales de estadística matemática . 33 (3). Instituto de Estadística Matemática : 1148-1159. doi : 10.1214/aoms/1177704477 . ISSN  0003-4851 . Consultado el 12 de junio de 2009 .
4. AN Kolmogorov, "Sulla determinizione empirica di una legge di distribuzione" Giorn. Ist. Italiano. Attuari, 4 (1933) págs. 83–91
5. Pearson, ES , Hartley, HO (1972) Tablas biometrika para estadísticos, volumen 2 , CUP. ISBN 0-521-06937-8 (página 118 y Tabla 54) 
6. Watson, GS (1961) "Pruebas de bondad de ajuste en un círculo", Biometrika , 48 (1/2), 109-114 JSTOR  2333135
7. Ruymgaart, FH, (1980) "Un enfoque unificado de la teoría de la distribución asintótica de ciertas estadísticas de rango medio". En: Statistique non Parametrique Asymptotique , 1±18, JP Raoult (Ed.), Lecture Notes on Mathematics, No. 821, Springer, Berlín.

• MA Stephens (1986). "Pruebas basadas en estadísticas del EDF". En D'Agostino, RB; Stephens, MA (eds.). Técnicas de bondad de ajuste . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7487-6.

Otras lecturas

• Xiao, Y.; A. Gordon; A. Yakovlev (enero de 2007). "Un programa C++ para la prueba de dos muestras de Cramér-von Mises" (PDF) . Revista de software estadístico . 17 (8). doi : 10.18637/jss.v017.i08 . ISSN  1548-7660. OCLC  42456366. S2CID  54098783 . Consultado el 12 de junio de 2009 .