En matemáticas, una proyección métrica es una función que asigna cada elemento de un espacio métrico al conjunto de puntos más cercanos a ese elemento en algún subespacio fijo. [1] [2]
Formalmente, sea X un espacio métrico con métrica de distancia d y sea M un subconjunto fijo de X. Entonces, la proyección métrica asociada con M , denotada p M , es la siguiente función de valor conjunto de X a M :
Equivalentemente:
Los elementos del conjunto también se denominan elementos de mejor aproximación . Este término proviene de la optimización restringida : queremos encontrar un elemento más cercano a x , bajo la restricción de que la solución debe ser un subconjunto de M. La función p M también se denomina operador de mejor aproximación . [ cita requerida ]
En general, p M es un conjunto de valores, ya que para cada x , puede haber muchos elementos en M que tengan la misma distancia más cercana a x . En el caso especial en el que p M es univaluado, el conjunto M se denomina conjunto de Chebyshev . A modo de ejemplo, si ( X , d ) es un espacio euclidiano (R n con la distancia euclidiana ), entonces un conjunto M es un conjunto de Chebyshev si y solo si es cerrado y convexo . [3]
Si M es un conjunto compacto no vacío , entonces la proyección métrica p M es semicontinua superior , pero podría no ser semicontinua inferior. Pero si X es un espacio normado y M es un conjunto de Chebyshev de dimensión finita, entonces p M es continua. [ cita requerida ]
Además, si X es un espacio de Hilbert y M es cerrado y convexo, entonces p M es Lipschitz continuo con constante de Lipschitz 1. [ cita requerida ]
Las proyecciones métricas se utilizan tanto para investigar cuestiones teóricas en el análisis funcional como para métodos de aproximación prácticos. [4] También se utilizan en la optimización restringida . [5]
