Producto Zappa–Szép

Concepto de matemáticas

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el producto de Zappa-Szép (también conocido como producto Zappa-Rédei-Szép , producto general , producto de punto , factorización exacta o producto bicruzado ) describe una forma en la que se puede construir un grupo a partir de dos subgrupos . Es una generalización de los productos directo y semidirecto . Recibe su nombre en honor a Guido Zappa (1940) y Jenő Szép (1950), aunque fue estudiado independientemente por otros, entre ellos BH Neumann (1935), GA Miller (1935) y JA de Séguier (1904). ^[1]

Productos internos de Zappa – Szép

Sea G un grupo con elemento identidad e , y sean H y K subgrupos de G . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• G = HK y H ∩ K = { e }
• Para cada g en G , existe una única h en H y una única k en K tales que g = hk .

Si se cumple una de estas afirmaciones (y, por tanto, ambas), entonces se dice que G es un producto interno de Zappa-Szép de H y K.

Ejemplos

Sea G = GL( n , C ), el grupo lineal general de matrices invertibles n × n sobre los números complejos . Para cada matriz A en G , la descomposición QR afirma que existe una única matriz unitaria Q y una única matriz triangular superior R con entradas reales positivas en la diagonal principal tales que A = QR . Por lo tanto, G es un producto de Zappa–Szép del grupo unitario U ( n ) y el grupo (por ejemplo) K de matrices triangulares superiores con entradas diagonales positivas.

Uno de los ejemplos más importantes de esto es el teorema de Philip Hall de 1937 sobre la existencia de sistemas de Sylow para grupos solubles . Este demuestra que cada grupo soluble es un producto de Zappa-Szép de un p'- subgrupo de Hall y un p -subgrupo de Sylow , y de hecho que el grupo es un producto de Zappa-Szép (de múltiples factores) de un cierto conjunto de representantes de sus subgrupos de Sylow.

En 1935, George Miller demostró que cualquier grupo de permutación transitiva no regular con un subgrupo regular es un producto de Zappa-Szép del subgrupo regular y un estabilizador puntual. Pone como ejemplos PSL(2,11) y el grupo alternante de grado 5, y por supuesto, todo grupo alternante de grado primo es un ejemplo. En este mismo artículo se dan varios ejemplos de grupos que no se pueden realizar como productos de Zappa-Szép de subgrupos propios, como el grupo de cuaterniones y el grupo alternante de grado 6.

Productos externos de Zappa – Szép

Al igual que con los productos directos y semidirectos, existe una versión externa del producto de Zappa–Szép para grupos que no se sabe a priori que sean subgrupos de un grupo dado. Para justificarlo, sea G = HK un producto interno de Zappa–Szép de los subgrupos H y K del grupo G . Para cada k en K y cada h en H , existen α( k , h ) en H y β( k , h ) en K tales que kh = α( k , h ) β( k , h ). Esto define las funciones α : K × H → H y β : K × H → K que resultan tener las siguientes propiedades:

• α( e , h ) = h y β( k , e ) = k para todo h en H y k en K .
• α( k ₁ k ₂ , h ) = α( k ₁ , α( k ₂ ,  h ))
• β( k , h ₁ h ₂ ) = β(β( k , h ₁ ), h ₂ )
• α( k , h ₁ h ₂ ) = α( k ,  h ₁ ) α(β( k ,  h ₁ ), h ₂ )
• β( k ₁ k ₂ , h ) = β( k ₁ , α( k ₂ ,  h )) β( k ₂ ,  h )

para todos h ₁ , h ₂ en H , k ₁ , k ₂ en K . De estos, se sigue que

• Para cada k en K , la función h ↦ α( k , h ) es una biyección de H .
• Para cada h en H , la función k ↦ β( k , h ) es una biyección de K .

(De hecho, supongamos que α( k , h ₁ ) = α( k , h ₂ ). Entonces h ₁ = α( k ⁻¹ k , h ₁ ) = α( k ⁻¹ , α( k ,  h ₁ )) = α( k ⁻¹ , α( k ,  h ₂ )) = h ₂ . Esto establece la inyectividad y, para la sobreyectividad, se utiliza h = α( k , α( k ⁻¹ ,  h )).)

De manera más concisa, las primeras tres propiedades anteriores afirman que la aplicación α : K × H → H es una acción izquierda de K sobre (el conjunto subyacente de) H y que β : K × H → K es una acción derecha de H sobre (el conjunto subyacente de) K . Si denotamos la acción izquierda por h → ^k h y la acción derecha por k → k ^h , entonces las dos últimas propiedades suman ^k ( h ₁ h ₂ ) = ^k h ₁ ^{k h ₁} h ₂ y ( k ₁ k ₂ ) ^h = k ₁ ^{k ₂ h} k ₂ ^h .

Dando la vuelta a esto, supongamos que H y K son grupos (y sea e el elemento identidad de cada grupo) y supongamos que existen aplicaciones α : K × H → H y β : K × H → K que satisfacen las propiedades anteriores. Sobre el producto cartesiano H × K , definamos una aplicación de multiplicación y una de inversión mediante, respectivamente,

• ( h ₁ , k ₁ ) ( h ₂ , k ₂ ) = ( h ₁  α( k ₁ ,  h ₂ ), β( k ₁ ,  h ₂ )  k ₂ )
• ( h , k ) ⁻¹ = (α( k ⁻¹ ,  h ⁻¹ ), β( k ⁻¹ ,  h ⁻¹ ))

Entonces H × K es un grupo llamado producto externo de Zappa–Szép de los grupos H y K . Los subconjuntos H × { e } y { e } × K son subgrupos isomorfos a H y K , respectivamente, y H × K es, de hecho, un producto interno de Zappa–Szép de H × { e } y { e } × K .

Relación con productos semidirectos y directos

Sea G = HK un producto interno de Zappa–Szép de los subgrupos H y K . Si H es normal en G , entonces las aplicaciones α y β están dadas por, respectivamente, α( k , h ) = khk ^{− 1} y β( k , h ) = k . Esto es fácil de ver porque y puesto que por normalidad de , . En este caso, G es un producto interno semidirecto de H y K . ${\displaystyle (h_{1}k_{1})(h_{2}k_{2})=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})}$ ${\displaystyle h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H}$

Si, además, K es normal en G , entonces α( k , h ) = h . En este caso, G es un producto directo interno de H y K .

Véase también

Complemento (teoría de grupos)

Referencias

1. Martin W. Liebeck ; Cheryl E. Praeger; Jan Saxl (2010). Subgrupos regulares de grupos de permutación primitivos . American Mathematical Soc., págs. 1 y 2. ISBN 978-0-8218-4654-4.

• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR  0224703, OCLC  527050, Capítulo VI, §4.
• Michor, PW (1989), "Productos de punto de álgebras de Lie graduadas y grupos", Actas de la Escuela de Invierno de Geometría y Física, Srni , Suppl. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, Ser. II, 22 : 171–175, arXiv : math/9204220 , Bibcode :1992math......4220M.
• Miller, GA (1935), "Grupos que son productos de dos subgrupos propios permutables", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 21 (7): 469–472, Bibcode :1935PNAS...21..469M, doi : 10.1073/pnas.21.7.469 , PMC  1076628 , PMID  16588002
• Szép, J. (1950), "Sobre la estructura de grupos que pueden representarse como el producto de dos subgrupos", Acta Sci. Math. Szeged , 12 : 57–61.
• Takeuchi, M. (1981), "Pares emparejados de grupos y productos bismash de álgebras de Hopf", Comm. Algebra , 9 (8): 841–882, doi :10.1080/00927878108822621.
• Zappa, G. (1940), "Sulla costruzione dei gruppi prodotto di due dati sottogruppi permutabili traloro", Atti Secondo Congresso Un. Estera. Italiano. , Bolonia{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace ); Edizioni Cremonense, Roma, (1942) 119–125.
• Agore, AL; Chirvasitu, A.; Ion, B.; Militaru, G. (2007), Problemas de factorización para grupos finitos , arXiv : math/0703471 , Bibcode :2007math......3471A, doi :10.1007/s10468-009-9145-6, S2CID  18024087.
• Brin, MG (2005). "Sobre el producto Zappa-Szép". Communications in Algebra . 33 (2): 393–424. arXiv : math/0406044 . doi :10.1081/AGB-200047404. S2CID  15169734.