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Problema de iluminación

Solución de Roger Penrose al problema de la iluminación utilizando arcos elípticos (azul) y segmentos de línea recta (verde), con 3 posiciones de la fuente de luz única (punto rojo). Las cruces violetas son los focos de los arcos más grandes. Las regiones iluminadas y no iluminadas se muestran en amarillo y gris respectivamente.

Los problemas de iluminación son una clase de problemas matemáticos que estudian la iluminación de habitaciones con paredes espejadas mediante fuentes de luz puntuales .

Formulación original

La formulación original se atribuyó a Ernst Straus en la década de 1950 y se ha resuelto. Straus preguntó si una habitación con paredes de espejo siempre puede ser iluminada por una única fuente de luz puntual, lo que permite la reflexión repetida de la luz en las paredes de espejo. Alternativamente, la pregunta puede formularse como si se pudiera construir una mesa de billar con cualquier forma requerida, ¿existe una forma posible tal que haya un punto en el que sea imposible golpear la bola de billar en otro punto, suponiendo que la bola sea puntual y continúe infinitamente en lugar de detenerse debido a la fricción ?

Habitación no iluminable de Penrose

El problema original fue resuelto por primera vez en 1958 por Roger Penrose, que utilizó elipses para formar la habitación no iluminable de Penrose . Demostró que existe una habitación con paredes curvas que siempre debe tener regiones oscuras si está iluminada únicamente por una única fuente puntual.

Habitaciones poligonales

Soluciones al problema de la iluminación por George W. Tokarsky (26 caras) y David Castro (24 caras)

Este problema también fue resuelto para habitaciones poligonales por George Tokarsky en 1995 para 2 y 3 dimensiones, que mostró que existe una habitación poligonal no iluminable de 26 lados con un "punto oscuro" que no está iluminado desde otro punto en la habitación, incluso permitiendo reflexiones repetidas. [1] Estos fueron casos raros, cuando un número finito de puntos oscuros (en lugar de regiones) son no iluminables solo desde una posición fija de la fuente puntual.

En 1995, Tokarsky descubrió la primera habitación poligonal no iluminable que tenía 4 lados y dos puntos límite fijos. [2] También en 1996 descubrió una habitación no iluminable de 20 lados con dos puntos interiores distintos. En 1997, George Tokarsky y David Castro propusieron por separado dos habitaciones diferentes de 24 lados con las mismas propiedades. [3] [4]

En 2016, Samuel Lelièvre, Thierry Monteil y Barak Weiss demostraron que una fuente de luz en una habitación poligonal cuyos ángulos (en grados) son todos números racionales iluminará todo el polígono, con la posible excepción de un número finito de puntos. [5] En 2019, Amit Wolecki reforzó esta teoría y demostró que, para cada uno de esos polígonos, el número de pares de puntos que no se iluminan entre sí es finito. [6]

Véase también

Referencias

  1. ^ Tokarsky, George (diciembre de 1995). "Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point" (Habitaciones poligonales que no se pueden iluminar desde todos los puntos). American Mathematical Monthly . 102 (10). Universidad de Alberta, Edmonton, Alberta, Canadá: Asociación Matemática de América: 867–879. doi :10.2307/2975263. JSTOR  2975263.
  2. ^ Tokarsky, G. (marzo de 1995). "¿Un tiro imposible al billar?". SIAM Review . 37 (1). Filadelfia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics: 107–109. doi :10.1137/1037016.
  3. ^ Castro, David (enero-febrero de 1997). "Correcciones" (PDF) . Revista Quantum . 7 (3). Washington DC: Springer-Verlag: 42.
  4. ^ Tokarsky, GW (febrero de 1997). "Retroalimentación, recreaciones matemáticas". Scientific American . 276 (2). Nueva York, NY: Scientific American, Inc.: 98. JSTOR  24993618.
  5. ^ Lelièvre, Samuel; Monteil, Thierry; Weiss, Barak (4 de julio de 2016). «Todo está iluminado». Geometría y topología . 20 (3): 1737–1762. arXiv : 1407.2975 . doi : 10.2140/gt.2016.20.1737 .
  6. ^ Wolecki, Amit (2019). "Iluminación en billar racional". arXiv : 1905.09358 [math.DS].

Enlaces externos