La formulación original se atribuyó a Ernst Straus en la década de 1950 y se ha resuelto. Straus preguntó si una habitación con paredes de espejo siempre puede ser iluminada por una única fuente de luz puntual, lo que permite la reflexión repetida de la luz en las paredes de espejo. Alternativamente, la pregunta puede formularse como si se pudiera construir una mesa de billar con cualquier forma requerida, ¿existe una forma posible tal que haya un punto en el que sea imposible golpear la bola de billar en otro punto, suponiendo que la bola sea puntual y continúe infinitamente en lugar de detenerse debido a la fricción ?
Habitación no iluminable de Penrose
El problema original fue resuelto por primera vez en 1958 por Roger Penrose, que utilizó elipses para formar la habitación no iluminable de Penrose . Demostró que existe una habitación con paredes curvas que siempre debe tener regiones oscuras si está iluminada únicamente por una única fuente puntual.
Habitaciones poligonales
Este problema también fue resuelto para habitaciones poligonales por George Tokarsky en 1995 para 2 y 3 dimensiones, que mostró que existe una habitación poligonal no iluminable de 26 lados con un "punto oscuro" que no está iluminado desde otro punto en la habitación, incluso permitiendo reflexiones repetidas. [1] Estos fueron casos raros, cuando un número finito de puntos oscuros (en lugar de regiones) son no iluminables solo desde una posición fija de la fuente puntual.
En 1995, Tokarsky descubrió la primera habitación poligonal no iluminable que tenía 4 lados y dos puntos límite fijos. [2] También en 1996 descubrió una habitación no iluminable de 20 lados con dos puntos interiores distintos. En 1997, George Tokarsky y David Castro propusieron por separado dos habitaciones diferentes de 24 lados con las mismas propiedades. [3] [4]
En 2016, Samuel Lelièvre, Thierry Monteil y Barak Weiss demostraron que una fuente de luz en una habitación poligonal cuyos ángulos (en grados) son todos números racionales iluminará todo el polígono, con la posible excepción de un número finito de puntos. [5] En 2019, Amit Wolecki reforzó esta teoría y demostró que, para cada uno de esos polígonos, el número de pares de puntos que no se iluminan entre sí es finito. [6]
La primera sala poligonal no iluminable de Tokarsky con 4 lados, 1995. Un vídeo que muestra la trayectoria de una bola de billar en esta sala.
La sala original no iluminable de Tokarsky con 24 lados, 1995. Un vídeo que muestra la trayectoria de una bola de billar en esta sala.
Una habitación no iluminable con 20 lados, 1996. Un vídeo que muestra la trayectoria de una bola de billar en esta habitación.
Una habitación no iluminable de Tokarsky con 27 lados, 1996. Un vídeo que muestra la trayectoria de una bola de billar en esta habitación.
^ Tokarsky, George (diciembre de 1995). "Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point" (Habitaciones poligonales que no se pueden iluminar desde todos los puntos). American Mathematical Monthly . 102 (10). Universidad de Alberta, Edmonton, Alberta, Canadá: Asociación Matemática de América: 867–879. doi :10.2307/2975263. JSTOR 2975263.
^ Tokarsky, G. (marzo de 1995). "¿Un tiro imposible al billar?". SIAM Review . 37 (1). Filadelfia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics: 107–109. doi :10.1137/1037016.
^ Castro, David (enero-febrero de 1997). "Correcciones" (PDF) . Revista Quantum . 7 (3). Washington DC: Springer-Verlag: 42.
^ Tokarsky, GW (febrero de 1997). "Retroalimentación, recreaciones matemáticas". Scientific American . 276 (2). Nueva York, NY: Scientific American, Inc.: 98. JSTOR 24993618.
^ Lelièvre, Samuel; Monteil, Thierry; Weiss, Barak (4 de julio de 2016). «Todo está iluminado». Geometría y topología . 20 (3): 1737–1762. arXiv : 1407.2975 . doi : 10.2140/gt.2016.20.1737 .
^ Wolecki, Amit (2019). "Iluminación en billar racional". arXiv : 1905.09358 [math.DS].
Enlaces externos
"El problema de la iluminación – Numberphile", en YouTube por Numberphile , 28 de febrero de 2017
"La habitación que no se puede iluminar en Penrose es imposible de iluminar", en YouTube por Steve Mould , 19 de mayo de 2022
"La forma del hongo no importa en la habitación no iluminable de Penrose", en YouTube por Nils Berglund, 13 de agosto de 2022
"La habitación original de Tokarsky, que no se podía iluminar y tenía 24 lados", en YouTube por George Tokarsky, 16 de junio de 2022
"Jeroglíficos egipcios: una extraña habitación de Tokarsky que no se puede iluminar", en YouTube por George Tokarsky, 15 de julio de 2022
"¡Eureka! La primera habitación poligonal que no se puede iluminar", en YouTube por George Tokarsky, 29 de julio de 2022