Problema de programación de lotes económicos

Problema en la gestión de operaciones y teoría de inventarios

El problema de programación económica de lotes ( ELSP ) es un problema de gestión de operaciones y teoría de inventarios que ha sido estudiado por muchos investigadores durante más de 50 años. El término fue utilizado por primera vez en 1958 por el profesor Jack D. Rogers de Berkeley, ^[1] quien extendió el modelo de cantidad económica de pedido al caso en el que hay varios productos que se deben producir en la misma máquina , de modo que uno debe decidir tanto el tamaño del lote para cada producto como cuándo debe producirse cada lote. El método ilustrado por Jack D. Rogers se basa en un artículo de 1956 de Welch, W. Evert. ^[2] El ELSP es un modelo matemático de un problema común para casi cualquier empresa o industria: planificar qué fabricar, cuándo fabricar y cuánto fabricar.

Formulación del modelo

El ELSP clásico se ocupa de programar la producción de varios productos en una sola máquina para minimizar los costos totales incurridos (que incluyen los costos de instalación y los costos de mantenimiento de inventario).

Suponemos una demanda conocida y no variable de los m productos (por ejemplo, podría haber m=3 productos y los clientes requieren 7 artículos por día del Producto 1, 5 artículos por día del Producto 2 y 2 artículos por día del Producto 3). La demanda de los clientes se satisface con el inventario y nuestro centro de producción lo repone. ${\displaystyle d_{j},j=1,\cdots ,m}$

Se dispone de una única máquina que puede fabricar todos los productos, pero no de forma perfectamente intercambiable. En lugar de ello, es necesario configurar la máquina para que produzca un producto, lo que supone un coste de configuración y/o un tiempo de configuración, tras lo cual producirá este producto a una tasa conocida . Cuando se desea producir un producto diferente, se detiene la máquina y se requiere otra configuración costosa para empezar a producir el siguiente producto. Sea el coste de configuración al cambiar del producto i al producto j y el coste de inventario se carga en función del nivel de inventario medio de cada artículo. N es el número de ejecuciones realizadas, U la tasa de uso, L el tamaño del lote y T el periodo de planificación. ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle h_{j}}$

Para dar un ejemplo muy concreto, la máquina podría ser una embotelladora y los productos podrían ser cajas de jugo de manzana embotellado , jugo de naranja y leche . La configuración corresponde al proceso de detener la máquina, limpiarla y cargar el tanque de la máquina con el fluido deseado. Este cambio de producto no debe realizarse con demasiada frecuencia o los costos de configuración serán altos, pero igualmente una producción demasiado larga de jugo de manzana sería indeseable porque conduciría a una gran inversión de inventario y costos de mantenimiento por cajas de jugo de manzana no vendidas y quizás a desabastecimientos de jugo de naranja y leche. El ELSP busca el equilibrio óptimo entre estos dos extremos.

Algoritmo de Rogers

1.Definir:

${\displaystyle \theta =T/N=L/U}$= período de uso

c _L = , el costo unitario para un lote de tamaño L ${\displaystyle {\frac {hL(P-U)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}}$

${\displaystyle C_{N}=NLc_{L}=UT\left[{\frac {hL\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L}}\right]}$el coste total de N lotes. Para obtener el óptimo :

${\displaystyle {\frac {d(C_{N})}{dL}}={\frac {hT\left(P-U\right)}{2P}}-{\frac {SUT}{L^{2}}}=0}$

Lo que da como resultado el tamaño de lote óptimo. Ahora, sea: ${\displaystyle L_{0}={\sqrt {\frac {2USP}{h(P-U)}}}}$

${\displaystyle C_{N_{L\pm a}}=UT\left[{\frac {h\left(L\pm a\right)\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{L\pm a}}\right]}$sea ​​el costo total para N _L±a lotes de tamaño L±a

${\displaystyle +\Delta =C_{N_{L+a}}-C_{N}=UT\left[{\frac {ha\left(P-U\right)}{2PU}}-{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}+L}}\right]}$sea ​​el costo incremental de cambiar de tamaño L a L+a

${\displaystyle -\Delta =C_{N_{L-a}}-C_{N}=UT\left[-{\frac {ha\left(P-U\right)}{2PU}}+{\frac {S}{{\frac {L^{2}}{a}}-L}}\right]}$sea ​​el costo incremental de cambiar de talla L a La

2.

Cantidad total de un artículo requerido = UT

Tiempo total de producción de un artículo = UT/P

Comprobar que la capacidad productiva esté satisfecha:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}T}{P_{i}}}\leq T}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}}{P_{i}}}\leq 1}$

3. Calcular:

${\displaystyle \theta _{0}={\frac {L_{0}}{U}}}$como un número entero

Si para un determinado elemento, θ ₀ no es un número par, calcule:

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}+1\right)}$

${\displaystyle L=U\left(\theta _{0}-1\right)}$

Y cambie L ₀ a L en la dirección que genere el menor aumento de costo entre +Δ y -Δ

4. Calcule t _p = L/P para cada elemento y enumere los elementos en orden creciente de θ = L/U

5. Para cada par de elementos ij verifique:

${\displaystyle \theta _{i}-t_{p_{i}}\geq t_{p_{j}}}$

${\displaystyle \theta _{j}-t_{p_{j}}\geq t_{p_{i}}}$

Para formar pares, tome el i ^con el i+1, i+2, etc. Si se viola alguna de estas desigualdades, calcule +Δ y -Δ para incrementos de tamaño de lote de 2U y, en orden de tamaño del cambio de costo, realice cambios de tamaño de lote paso a paso. Repita este paso hasta que se cumplan ambas desigualdades.

6. ${\displaystyle e_{ij}=d-t_{p_{i}}\leq \theta _{i}-t_{p_{i}}-t_{p_{j}}}$

1. Forme todos los pares posibles como en el paso 5
2. Para cada par, seleccione θ _i < θ _j
3. Determinar si t _{p i} > t _{p j} , t _{p i} < t _{p j} o t _{p i} = t _{p j}
4. Seleccione un valor para e _ij (e _ij = 0,1,2,3,...,θ _i - t _{p i} - t _{p j} ) y calcule t _pi +e y t _pj +e
5. Calcular M _i θ _i -M _j θ _j estableciendo M _i = k y M _j = 1, 2, 3,..., T/θ _j ; ∀k∈(1, 2,..., T/θ _i ). A continuación, comprobar si se cumple una de las siguientes condiciones de contorno:

para o ${\displaystyle t_{p_{i}}>t_{p_{j}}}$ ${\displaystyle t_{p_{i}}<t_{p_{j}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{i}}+e\\t_{p_{j}}+e\geq M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{i}}+e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}\geq t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

para ${\displaystyle t_{p_{i}}=t_{p_{j}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}t_{p_{i}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>e\\t_{p_{i}}+t_{p_{j}}+e>M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}>t_{p_{j}}+e\\t_{p_{i}}+e=M_{i}\theta _{i}-M_{j}\theta _{j}=t_{p_{j}}+e\end{cases}}}$

Si no se cumple ninguna de las condiciones de contorno, entonces e _ij no interfiere: si i = 1 en e _ij , elija el siguiente e más grande en el subpaso 4; si i ≠ 1, regrese al subpaso 2. Si se cumple alguna condición de contorno, vaya al subpaso 4. Si, para cualquier par, no aparece ningún e que no interfiera, regrese al Paso 5.

7.Ingresar elementos en el cronograma y verificar su viabilidad.

ELSP estocástico

En la práctica, es de gran importancia diseñar, planificar y operar una capacidad compartida entre múltiples productos con tiempos y costos de cambio en un entorno de demanda incierto. Más allá de la selección de los tiempos de ciclo (esperados), con cierta cantidad de margen de maniobra diseñado ("tiempo de seguridad"), también hay que considerar la cantidad de stock de seguridad (stock de reserva) que se necesita para cumplir con el nivel de servicio deseado. ^[3]

Estado del problema

El problema es bien conocido en la comunidad de investigación de operaciones y se ha creado una gran cantidad de trabajo de investigación académica para mejorar el modelo y crear nuevas variaciones que resuelvan problemas específicos.

El modelo se conoce como un problema NP-hard, ya que actualmente no es posible encontrar la solución óptima sin comprobar casi todas las posibilidades. Lo que se ha hecho sigue dos enfoques: restringir la solución a un tipo específico (lo que permite encontrar la solución óptima para el problema más específico), o la solución aproximada del problema completo utilizando heurísticas o algoritmos genéticos . ^[4]

Véase también

• Tasa de llenado infinita para la pieza que se está produciendo: Cantidad de pedido económica
• Tasa de llenado constante para la pieza que se produce: Cantidad de producción económica
• La demanda es aleatoria: modelo clásico de vendedor de periódicos
• La demanda varía con el tiempo: modelo de tamaño de lote dinámico

Referencias

1. Jack D. Rogers : Un enfoque computacional para el problema de programación económica de lotes, Management Science, vol. 4, n.º 3, abril de 1958, págs. 264-291
2. Welch, W. Evert, Un caso de programación lineal simple, Management Methods 1956 en Jack D. Rogers : Un enfoque computacional para el problema de programación de lotes económicos, Management Science, vol. 4, n.º 3, abril de 1958, págs. 264-291
3. Tayur, S. (2000). "Mejora de las operaciones y cotización de plazos de entrega precisos en una planta de laminados". Interfaces . 30 (5): 1–15. doi :10.1287/inte.30.5.1.11637.
4. Zipkin Paul H., Fundamentos de la gestión de inventarios, Boston: McGraw Hill, 2000, ISBN 0-256-11379-3 

Lectura adicional

• SE Elmaghraby: El problema de programación económica de lotes (ELSP): revisión y extensiones, Management Science, vol. 24, n.º 6, febrero de 1978, págs. 587–598
• MA Lopez, BG Kingsman: El problema de la programación económica de lotes: teoría y práctica, International Journal of Production Economics, vol. 23, octubre de 1991, págs. 147-164
• Michael Pinedo, Planificación y programación en manufactura y servicios, Springer, 2005. ISBN 0-387-22198-0 

Enlaces externos

• Gallego: El ELSP, Universidad de Columbia, 2004