Problema de Erdős-Ulam

¿El plano contiene un conjunto denso de puntos cuyas distancias son todas racionales?

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existe un conjunto denso de puntos en el plano a distancias racionales entre sí?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En matemáticas, el problema de Erdős-Ulam pregunta si el plano contiene un conjunto denso de puntos cuyas distancias euclidianas son todas números racionales . Lleva el nombre de Paul Erdős y Stanislaw Ulam .

Conjuntos de puntos grandes con distancias racionales.

El teorema de Erdős-Anning establece que un conjunto de puntos con distancias enteras debe ser finito o estar en una sola línea. ^[1] Sin embargo, existen otros conjuntos infinitos de puntos con distancias racionales. Por ejemplo, en el círculo unitario , sea S el conjunto de puntos

${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$

donde está restringido a valores que provocan que sea un número racional. Para cada uno de esos puntos, ambos y son racionales, y si y definen dos puntos en S , entonces su distancia es el número racional ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tan {\tfrac {\theta }{4}}}$ ${\displaystyle \sin {\tfrac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}-2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right|.}$

De manera más general, un círculo con radio contiene un conjunto denso de puntos a distancias racionales entre sí si y sólo si es racional. ^[2] Sin embargo, estos conjuntos sólo son densos en su círculo, no densos en todo el plano. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ^{2}}$

Historia y resultados parciales

En 1946, Stanislaw Ulam preguntó si existe un conjunto de puntos a distancias racionales entre sí que formen un subconjunto denso del plano euclidiano . ^[2] Si bien la respuesta a esta pregunta aún está abierta, József Solymosi y Frank de Zeeuw demostraron que las únicas curvas algebraicas irreducibles que contienen infinitos puntos a distancias racionales son las líneas y los círculos. ^[3] Terence Tao y Jafar Shaffaf observaron de forma independiente que, si la conjetura de Bombieri-Lang es cierta, los mismos métodos mostrarían que no existe un conjunto denso infinito de puntos a distancias racionales en el plano. ^{[4] [5]} Utilizando diferentes métodos, Héctor Pasten demostró que la conjetura abc también implica una solución negativa al problema de Erdős-Ulam. ^[6]

Consecuencias

Si el problema de Erdős-Ulam tiene una solución positiva, proporcionaría un contraejemplo a la conjetura de Bombieri-Lang ^{[4] [5]} y a la conjetura abc . ^[6] También resolvería la conjetura de Harborth , sobre la existencia de dibujos de gráficos planos en los que todas las distancias son números enteros. Si existe un conjunto denso de distancias racionales, cualquier dibujo en línea recta de un gráfico plano podría ser perturbado en una pequeña cantidad (sin introducir cruces) para usar puntos de este conjunto como sus vértices, y luego escalarlos para hacer las distancias enteras. Sin embargo, al igual que el problema de Erdős-Ulam, la conjetura de Harborth sigue sin demostrarse.

Referencias

1. Anning, normando H.; Erdős, Paul (1945), "Distancias integrales", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 51 (8): 598–600, doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9.
2. Klee, Víctor ; Wagon, Stan (1991), "Problema 10 ¿El plano contiene un conjunto racional denso?", Viejos y nuevos problemas sin resolver en geometría plana y teoría de números, Exposiciones matemáticas de Dolciani, vol. 11, Cambridge University Press, págs. 132-135, ISBN 978-0-88385-315-3.
3. Solymosi, József ; de Zeeuw, Frank (2010), "Sobre una cuestión de Erdős y Ulam", Geometría computacional y discreta , 43 (2): 393–401, arXiv : 0806.3095 , doi : 10.1007/s00454-009-9179-x, MR  2579704 , S2CID  15288690
4. Tao, Terence (20 de diciembre de 2014), "El problema de Erdos-Ulam, variedades de tipo general y la conjetura de Bombieri-Lang", Novedades , consultado el 5 de diciembre de 2016
5. Shaffaf, Jafar (mayo de 2018), "Una solución del problema de Erdős-Ulam en conjuntos de distancias racionales asumiendo la conjetura de Bombieri-Lang", Geometría discreta y computacional , 60 (8): 283–293, arXiv : 1501.00159 , doi :10.1007/s00454-018-0003-3, S2CID  51907500
6. Pasten, Hector (2017), "Definibilidad de las órbitas de Frobenius y un resultado en conjuntos de distancias racionales", Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi :10.1007/s00605-016-0973-2, MR  3592123 , S2CID  7805117