Diofanto II.VIII

Diofanto II.VIII: La intersección de la recta CB y la circunferencia da un punto racional ( x ₀ , y ₀ ).

El octavo problema del segundo libro de Aritmética de Diofanto (c.  200/214 d. C.  – c.  284/298 d. C. ) es dividir un cuadrado en una suma de dos cuadrados.

La solución dada por Diofanto

Diofanto toma el cuadrado como 16 y resuelve el problema de la siguiente manera: ^[1]

Dividir un cuadrado dado en una suma de dos cuadrados.

Dividir 16 en una suma de dos cuadrados.

Sea el primer sumando , y por tanto el segundo . Este último debe ser un cuadrado. Formo el cuadrado de la diferencia de un múltiplo arbitrario de x disminuido por la raíz [de] 16, es decir, disminuido en 4. Formo, por ejemplo, el cuadrado de 2 x  − 4. Es . Pongo esta expresión igual a . Sumo a ambos lados y resto 16. De esta manera obtengo , por lo tanto . ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 16-x^{2}}$ ${\displaystyle 4x^{2}+16-16x}$ ${\displaystyle 16-x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+16x}$ ${\displaystyle 5x^{2}=16x}$ ${\displaystyle x=16/5}$

Por lo tanto, un número es 256/25 y el otro 144/25. La suma de estos números es 16 y cada sumando es un cuadrado.

Interpretación geométrica

Geométricamente, podemos ilustrar este método dibujando el círculo x ²  +  y ²  = 4 ² y la línea y  = 2 x  - 4. El par de cuadrados buscados son entonces x ₀ ² e y ₀ ² , donde ( x ₀ , y ₀ ) es el punto que no está en el eje y donde se intersecan la línea y el círculo. Esto se muestra en el diagrama adyacente.

Generalización de la solución de Diofanto

Diofanto II.VIII: Solución generalizada en la que los lados del triángulo OAB forman una terna racional si la recta CB tiene un gradiente racional t .

Podemos generalizar la solución de Diofanto para resolver el problema para cualquier cuadrado dado, que representaremos algebraicamente como 2 ^. Además, dado que Diofanto se refiere a un múltiplo arbitrario de x , tomaremos el múltiplo arbitrario como tx . Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(tx-a)^{2}=a^{2}-x^{2}\\\Rightarrow \ \ &t^{2}x^{2}-2atx+a^{2}=a^{2}-x^{2}\\\Rightarrow \ \ &x^{2}(t^{2}+1)=2atx\\\Rightarrow \ \ &x={\frac {2at}{t^{2}+1}}{\text{ or }}x=0.\\\end{aligned}}}$

Por lo tanto, encontramos que uno de los sumandos es y el otro es . La suma de estos números es y cada sumando es un cuadrado. Geométricamente, hemos intersecado el círculo x ²  +  y ²  =  a ² con la línea y  =  tx  -  a , como se muestra en el diagrama adyacente. ^[2] Escribiendo las longitudes, OB, OA y AB, de los lados del triángulo OAB como una tupla ordenada, obtenemos la triple ${\displaystyle x^{2}=\left({\tfrac {2at}{t^{2}+1}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle (tx-a)^{2}=\left({\tfrac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}}$

${\displaystyle \left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]}$.

El resultado específico obtenido por Diofanto se puede obtener tomando a  = 4 y t  = 2:

${\displaystyle \left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]=\left[{\frac {20}{5}};{\frac {16}{5}};{\frac {12}{5}}\right]={\frac {4}{5}}\left[5;4;3\right].}$

Vemos que la solución particular de Diofanto es, de hecho, una terna (3, 4, 5) sutilmente disfrazada. Sin embargo, como la terna siempre será racional mientras a y t sean racionales, podemos obtener una infinidad de ternas racionales modificando el valor de t y, por lo tanto, modificando el valor del múltiplo arbitrario de x .

Esta solución algebraica necesita sólo un paso adicional para llegar a la secuencia platónica y es multiplicar todos los lados del triple anterior por un factor . Observe también que si a = 1, los lados [OB, OA, AB] se reducen a ${\displaystyle [{\tfrac {t^{2}+1}{2}};t;{\tfrac {t^{2}-1}{2}}]}$ ${\displaystyle \quad {\tfrac {t^{2}+1}{2a}}}$

${\displaystyle \left[1;{\frac {2t}{t^{2}+1}};{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}}\right].}$

En notación moderna, esto es solo para θ que se muestra en el gráfico anterior, escrito en términos de la cotangente t de θ/2. En el ejemplo particular dado por Diofanto, t tiene un valor de 2, el multiplicador arbitrario de x . Al despejar los denominadores , esta expresión generará ternas pitagóricas . Curiosamente, el multiplicador arbitrario de x se ha convertido en la piedra angular de la(s) expresión(es) generadora(s). ${\displaystyle (1,\sin \theta ,\cos \theta ),}$

Diofanto II.IX llega a la misma solución por una vía aún más rápida y muy similar a la "solución generalizada" anterior. Una vez más, el problema consiste en dividir 16 en dos cuadrados. ^[3]

Sea el primer número N y el segundo un múltiplo arbitrario de N disminuido por la raíz (de) 16. Por ejemplo 2 N  − 4. Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}&N^{2}+(2N-4)^{2}=16\\\Rightarrow \ \ &5N^{2}+16-16N=16\\\Rightarrow \ \ &5N^{2}=16N\\\Rightarrow \ \ &N={\frac {16}{5}}\\\end{aligned}}}$

El famoso comentario de Fermat , que más tarde se convirtió en el Último Teorema de Fermat, aparece intercalado entre «Quaestio VIII» y «Quaestio IX» en la página 61 de una edición de 1670 de Arithmetica.

Véase también

• El último teorema de Fermat y Diofanto II.VIII

Referencias

1. Arithmetica , Diophantus . Libro II, problema 8. Parafraseado en la pág. 24, Diophantus and Diophantine Equations , Isabella Grigoryevna Bashmakova , actualizado por Joseph Silverman, traducido del ruso por Abe Shenitzer y Hardy Grant. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1997. ISBN  0-88385-526-7 . Publicación original. Moscú: Nauke, 1972. Se ha corregido un error tipográfico en la cita.
2. Bashmakova, págs. 24-25.
3. Esta solución es II.IX en la numeración de Diofanto de Alejandría: Un estudio en la historia del álgebra griega , Sir Thomas Little Heath, Cambridge: University of Cambridge Press, 1885. En la numeración de Diophanti Alexandrini Opera Omnia cum Graecis Commentariis , ed. y traducido por Paul Tannery , Leipzig: BG Teubner, 1893, es parte de II.VIII.