Principio de selección

Regla en matemáticas

Una ilustración del principio de selección ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$

En matemáticas, un principio de selección es una regla que afirma la posibilidad de obtener objetos matemáticamente significativos seleccionando elementos de secuencias dadas de conjuntos . La teoría de los principios de selección estudia estos principios y sus relaciones con otras propiedades matemáticas. Los principios de selección describen principalmente propiedades de cobertura, propiedades teóricas de categorías y medidas , y propiedades locales en espacios topológicos , especialmente espacios de funciones . A menudo, la caracterización de una propiedad matemática utilizando un principio de selección es una tarea no trivial que conduce a nuevos conocimientos sobre la propiedad caracterizada.

Los principios básicos de selección

En 1924, Karl Menger ^[1] introdujo la siguiente propiedad de base para espacios métricos : cada base de la topología contiene una secuencia de conjuntos con diámetros nulos que cubre el espacio. Poco después, Witold Hurewicz ^[2] observó que la propiedad de base de Menger es equivalente a la siguiente propiedad selectiva: para cada secuencia de cubiertas abiertas del espacio, se puede seleccionar un número finito de conjuntos abiertos de cada cubierta en la secuencia, de modo que la familia de todos los conjuntos seleccionados cubra el espacio. Los espacios topológicos que tienen esta propiedad de cobertura se denominan espacios de Menger .

La reformulación de Hurewicz de la propiedad de Menger fue la primera propiedad topológica importante descrita por un principio de selección. Sean y clases de objetos matemáticos. En 1996, Marion Scheepers ^[3] introdujo las siguientes hipótesis de selección, que recogen una gran cantidad de propiedades matemáticas clásicas: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

• ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$: Para cada secuencia de elementos de la clase , hay elementos tales que . ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$: Para cada secuencia de elementos de la clase , existen subconjuntos finitos tales que . ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}\in \mathbf {B} }$

En el caso en que las clases y consisten en cubiertas de algún espacio ambiental, Scheepers también introdujo el siguiente principio de selección. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

• ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$: Para cada secuencia de elementos de la clase , ninguno de los cuales contiene una subcubierta finita, existen subconjuntos finitos tales que . ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\dotsc \}\in \mathbf {B} }$

Más tarde, Boaz Tsaban identificó la prevalencia del siguiente principio relacionado:

• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {A} }{\mathbf {B} }}}$:Cada miembro de la clase incluye un miembro de la clase . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Las nociones así definidas son principios de selección . Una instanciación de un principio de selección, al considerar clases específicas y , da una propiedad de selección (o: selectiva) . Sin embargo, estas terminologías se usan indistintamente en la literatura. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Variaciones

Para un conjunto y una familia de subconjuntos de , la estrella de en es el conjunto . ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\text{St}}(A,{\mathcal {F}})=\bigcup \{F\in {\mathcal {F}}:A\cap F\neq \emptyset \}}$

En 1999, Ljubisa DR Kocinac introdujo los siguientes principios de selección de estrellas : ^[4]

• ${\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$: Para cada secuencia de elementos de la clase , hay elementos tales que . ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{{\text{St}}(U_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$: Para cada secuencia de elementos de la clase , existen subconjuntos finitos tales que . ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{{\text{St}}(\bigcup {\mathcal {F}}_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$

Los principios de selección de estrellas son casos especiales de los principios de selección generales. Esto se puede comprobar modificando la definición de la familia en consecuencia. ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Propiedades de recubrimiento

Las propiedades de cobertura forman el núcleo de la teoría de los principios de selección. Las propiedades de selección que no son propiedades de cobertura se estudian a menudo utilizando implicaciones hacia y desde las propiedades de cobertura selectiva de espacios relacionados.

Sea un espacio topológico . Una cubierta abierta de es una familia de conjuntos abiertos cuya unión es el espacio entero Por razones técnicas, también solicitamos que el espacio entero no sea miembro de la cubierta. La clase de cubiertas abiertas del espacio se denota por . (Formalmente, , pero usualmente el espacio está fijo en el fondo.) La propiedad antes mencionada de Menger es, por lo tanto, . En 1942, Fritz Rothberger consideró los conjuntos cero de medida fuerte de Borel e introdujo una variación topológica posteriormente llamada espacio de Rothberger (también conocido como espacio C ). En la notación de selecciones, la propiedad de Rothberger es la propiedad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle ''}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

Una cubierta abierta de es puntualmente cofinita si tiene infinitos elementos y cada punto pertenece a todos los conjuntos excepto a un número finito de conjuntos . (Este tipo de cubierta fue considerado por Gerlits y Nagy, en el tercer elemento de una cierta lista en su artículo. La lista fue enumerada con letras griegas y, por lo tanto, estas cubiertas a menudo se denominan -cubiertas ). La clase de cubiertas abiertas puntualmente cofinitas de se denota por . Un espacio topológico es un espacio de Hurewicz si satisface . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$ ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

Una cubierta abierta de es una -cubierta si cada subconjunto finito de está contenido en algún miembro de . La clase de -cubiertas de se denota por . Un espacio topológico es un γ-espacio si satisface . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$

Utilizando hipótesis de selección de estrellas se obtienen propiedades como estrella-Menger ( ), estrella-Rothberger ( ) y estrella-Hurewicz ( ). ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

El diagrama de Scheepers

Hay 36 propiedades de selección de la forma , para y . Algunas de ellas son triviales (se cumplen para todos los espacios o fallan para todos los espacios). Restringiendo la atención a los espacios de Lindelöf , el diagrama siguiente, conocido como Diagrama de Scheepers , ^{[3] [5]} presenta propiedades de selección no triviales de la forma anterior, y cada propiedad de selección no trivial es equivalente a una en el diagrama. Las flechas indican implicaciones. ${\displaystyle \Pi (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$ ${\displaystyle \Pi \in \{{\text{S}}_{1},{\text{S}}_{\text{fin}},{\text{U}}_{\text{fin}},{\bigl (}~~{\bigr )}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in \{\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } ,\mathbf {\Omega } \}}$

Propiedades locales

Los principios de selección también capturan propiedades locales importantes.

Sea un espacio topológico y . La clase de conjuntos en el espacio que tienen el punto en su clausura se denota por . La clase consta de los elementos contables de la clase . La clase de secuencias en que convergen a se denota por . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbf {\Gamma _{y}} }$

• Un espacio es Fréchet-Urysohn si y sólo si satisface para todos los puntos . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Gamma _{y}} }}}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• Un espacio es fuertemente Fréchet-Urysohn si y sólo si satisface para todos los puntos . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Gamma _{y}} )}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• Un espacio tiene estrechez contable si y sólo si satisface para todos los puntos . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }}}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• Un espacio tiene estanqueidad de abanico contable si y sólo si satisface para todos los puntos . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• Un espacio tiene una fuerte hermeticidad contable si y sólo si satisface para todos los puntos . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}$ ${\displaystyle y\in Y}$

Juegos topológicos

Existen estrechas conexiones entre los principios de selección y los juegos topológicos .

El juego de Menger

Sea un espacio topológico. El juego de Menger que se juega en es un juego para dos jugadores, Alice y Bob. Tiene una entrada por cada número natural . En la entrada, Alice elige una cobertura abierta de , y Bob elige un subconjunto finito de . Si la familia es una cobertura del espacio , entonces Bob gana el juego. De lo contrario, Alice gana. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Una estrategia para un jugador es una función que determina el movimiento del jugador, dados los movimientos anteriores de ambos jugadores. Una estrategia para un jugador es una estrategia ganadora si cada jugada en la que este jugador se apega a esta estrategia es ganada por este jugador.

• Un espacio topológico existe si y sólo si Alicia no tiene una estrategia ganadora en el juego que se juega en este espacio. ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• Sea un espacio métrico. Bob tiene una estrategia ganadora en el juego jugado en el espacio si y solo si el espacio es -compacto. ^{[6] [7]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$

Nótese que entre los espacios de Lindelöf, metrizable es equivalente a regular y segundo contable, por lo que el resultado anterior puede obtenerse alternativamente considerando estrategias de información limitada . ^[8] Una estrategia de Markov es aquella que solo utiliza el movimiento más reciente del oponente y el número de ronda actual.

• Sea un espacio regular. Bob tiene una estrategia markoviana ganadora en el juego jugado en el espacio si y solo si el espacio es -compacto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$
• Sea un espacio de segundo orden contable. Bob tiene una estrategia markoviana ganadora en el juego jugado en el espacio si y solo si tiene una estrategia ganadora de información perfecta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$

De manera similar, definimos juegos para otros principios de selección a partir del Diagrama de Scheepers dado. En todos estos casos, un espacio topológico tiene una propiedad del Diagrama de Scheepers si y solo si Alice no tiene una estrategia ganadora en el juego correspondiente. ^[9] Pero esto no se cumple en general: Sea la familia de k-cubiertas de un espacio. Es decir, tal que cada conjunto compacto en el espacio está cubierto por algún miembro de la cubierta. Francis Jordan demostró un espacio donde se cumple el principio de selección , pero Alice tiene una estrategia ganadora para el juego ^[10]. ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}$

Ejemplos y propiedades

• Cada espacio es un espacio Lindelöf . ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• Todo espacio σ-compacto (una unión contable de espacios compactos) es . ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$.
• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$.
• Suponiendo la Hipótesis del Continuo , hay conjuntos de números reales que demuestran que las implicaciones anteriores no se pueden revertir. ^[5]
• No hay ningún conjunto de Luzin . ^{[11] [12]} ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• Cada conjunto de Sierpiński es Hurewicz. ^[13]

Los subconjuntos de la recta real (con la topología de subespacio inducida ) que cumplen las propiedades del principio de selección, en particular los espacios de Menger y Hurewicz, se pueden caracterizar por sus imágenes continuas en el espacio de Baire . Para las funciones , escriba si para todos los números naturales excepto un número finito . Sea un subconjunto de . El conjunto está acotado si hay una función tal que para todas las funciones . El conjunto es dominante si para cada función hay una función tal que . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$ ${\displaystyle f(n)\leq g(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle g\in A}$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$

• Un subconjunto de la línea real es si y sólo si cada imagen continua de ese espacio en el espacio de Baire no es dominante. ^[14] ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• Un subconjunto de la línea real es si y sólo si cada imagen continua de ese espacio en el espacio de Baire está acotada. ^[14] ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

Conexiones con otros campos

Topología general

• Todo espacio es un D-espacio . ^[15] ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

Sea P una propiedad de los espacios. Un espacio es productivamente P si, para cada espacio con propiedad P , el espacio producto tiene propiedad P . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

• Todo espacio separable productivamente paracompacto es . ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• Suponiendo la Hipótesis del Continuo , todo espacio de Lindelöf productivo es productivamente ^[16] ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• Sea un subconjunto de la recta real y un subconjunto magro de la recta real. Entonces el conjunto es magro. ^[17] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A+M=\{a+x:a\in A,x\in M\}}$

Teoría de la medida

• Cada subconjunto de la línea real es un conjunto cero de medida fuerte . ^[11] ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

Espacios funcionales

Sea un espacio de Tichonoff , y sea el espacio de funciones continuas con topología de convergencia puntual . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle X}$satisface si y sólo si es Fréchet–Urysohn si y sólo si es Fréchet–Urysohn fuerte . ^[18] ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle X}$satisface si y sólo si tiene una fuerte hermeticidad del ventilador contable . ^[19] ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}$ ${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle X}$satisface si y sólo si tiene hermeticidad de ventilador contable . ^{[20] [5]} ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}$ ${\displaystyle C(X)}$

Véase también

• Espacio compacto
• Sigma-compacto
• Espacio Menger
• Espacio Hurewicz
• El espacio de Rothberger

Referencias

1. Menger, Karl (1924). "Einige Überdeckungssätze der Punktmengenlehre". Sitzungsberichte der Wiener Akademie . 133 : 421–444. JFM  50.0129.01.Reimpreso en Selecta Mathematica I (2002), doi :10.1007/978-3-7091-6110-4_14, ISBN 978-3-7091-7282-7 , pp. 155-178. 
2. Hurewicz, Witold (1926). "Über eine verallgemeinerung des Borelschen Theoremas". Mathematische Zeitschrift . 24 (1): 401–421. doi :10.1007/bf01216792. S2CID  119867793.
3. Scheepers, Marion (1996). "Combinatoria de cubiertas abiertas I: teoría de Ramsey". Topología y sus aplicaciones . 69 : 31–62. doi : 10.1016/0166-8641(95)00067-4 .
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