Principio de los dados

En teoría de la probabilidad , el principio de los dados es un teorema sobre las probabilidades de eventos en ensayos iid repetidos . Sea y denote dos eventos mutuamente excluyentes que podrían ocurrir en un ensayo dado. Entonces, la probabilidad de que ocurra antes es igual a la probabilidad condicional de que ocurra dado que o ocurra en el siguiente ensayo, que es ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {P} [E_{1}\,\,{\text{before}}\,\,E_{2}]=\operatorname {P} \left[E_{1}\mid E_{1}\cup E_{2}\right]={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{\operatorname {P} [E_{1}]+\operatorname {P} [E_{2}]}}}$

Los eventos no necesitan ser colectivamente exhaustivos (si lo son, el resultado es trivial). ^{[1] [2]} ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

Prueba

Sea el evento que ocurre antes de . Sea el evento que ni ni ocurre en un ensayo dado. Como , y son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos para el primer ensayo, tenemos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A)=\operatorname {P} (E_{1})\operatorname {P} (A\mid E_{1})+\operatorname {P} (E_{2})\operatorname {P} (A\mid E_{2})+\operatorname {P} (B)\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (E_{1})+\operatorname {P} (B)\operatorname {P} (A\mid B)}$

y . Dado que los ensayos son iid, tenemos . Al utilizar y resolver la ecuación mostrada para obtenemos la fórmula ${\displaystyle \operatorname {P} (B)=1-\operatorname {P} (E_{1})-\operatorname {P} (E_{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A|E_{1})=1,\quad \operatorname {P} (A|E_{2})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A)={\frac {\operatorname {P} (E_{1})}{\operatorname {P} (E_{1})+\operatorname {P} (E_{2})}}}$.

Solicitud

Si las pruebas son repeticiones de un juego entre dos jugadores y los eventos son

${\displaystyle E_{1}:\mathrm {player\ 1\ wins} }$

${\displaystyle E_{2}:\mathrm {player\ 2\ wins} }$

Entonces, el principio de los dados da las probabilidades condicionales respectivas de que cada jugador gane una determinada repetición, dado que alguien gana (es decir, dado que no se produce un empate ). De hecho, el resultado solo se ve afectado por las probabilidades marginales relativas de ganar y  ; en particular, la probabilidad de un empate es irrelevante. ${\displaystyle \operatorname {P} [E_{1}]}$ ${\displaystyle \operatorname {P} [E_{2}]}$

Parada

Si el juego se juega repetidamente hasta que alguien gana, entonces la probabilidad condicional anterior es la probabilidad de que el jugador gane el juego. Esto se ilustra a continuación para el juego original de dados , utilizando una prueba alternativa.

Ejemplo de dados

Si el juego que se está jugando es craps , entonces este principio puede simplificar enormemente el cálculo de la probabilidad de ganar en un escenario determinado. En concreto, si el primer lanzamiento es un 4, 5, 6, 8, 9 o 10, entonces los dados se vuelven a lanzar repetidamente hasta que se produzca uno de dos eventos:

${\displaystyle E_{1}:{\text{ the original roll (called ‘the point’) is rolled (a win) }}}$

${\displaystyle E_{2}:{\text{ a 7 is rolled (a loss) }}}$

Dado que y son mutuamente excluyentes, se aplica el principio de los dados. Por ejemplo, si el lanzamiento original fue un 4, entonces la probabilidad de ganar es ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle {\frac {3/36}{3/36+6/36}}={\frac {1}{3}}}$

Esto evita tener que sumar la serie infinita correspondiente a todos los resultados posibles:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {P} [{\text{first i rolls are ties,}}(i+1)^{\text{th}}{\text{roll is ‘the point’}}]}$

Matemáticamente, podemos expresar la probabilidad de que salgan empates y luego salga el punto: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \operatorname {P} [{\text{first i rolls are ties, }}(i+1)^{\text{th}}{\text{roll is ‘the point’}}]=(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}\operatorname {P} [E_{1}]}$

La suma se convierte en una serie geométrica infinita :

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}\operatorname {P} [E_{1}]=\operatorname {P} [E_{1}]\sum _{i=0}^{\infty }(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{1-(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])}}={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{\operatorname {P} [E_{1}]+\operatorname {P} [E_{2}]}}}$

lo cual concuerda con el resultado anterior.

Referencias

1. Susan Holmes (7 de diciembre de 1998). "El principio de los dados 10/16". statweb.stanford.edu . Consultado el 17 de marzo de 2016 .
2. Jennifer Ouellette (31 de agosto de 2010). The Calculus Diaries: How Math Can Help You Lose Weight, Win in Vegas, and Survive a Zombie Apocalypse [Diarios de cálculo: cómo las matemáticas pueden ayudarte a perder peso, ganar en Las Vegas y sobrevivir a un apocalipsis zombi]. Penguin Publishing Group. pp. 50–. ISBN 978-1-101-45903-4.

Notas

• Pitman, Jim (1993). Probabilidad. Berlín: Springer-Verlag. p. 210. ISBN 0-387-97974-3.