Principio de Laplace (teoría de las grandes desviaciones)

En matemáticas , el principio de Laplace es un teorema básico en la teoría de grandes desviaciones que es similar al lema de Varadhan . Proporciona una expresión asintótica para la integral de Lebesgue de exp(− θφ ( x )) sobre un conjunto fijo A a medida que θ se hace grande. Tales expresiones se pueden utilizar, por ejemplo, en mecánica estadística para determinar el comportamiento límite de un sistema cuando la temperatura tiende al cero absoluto .

Declaración del resultado

Sea A un subconjunto medible de Lebesgue del espacio euclidiano d - dimensional R ^d y sea φ  :  R ^d  →  R una función medible con

${\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,dx<\infty .}$

Entonces

${\displaystyle \lim _{\theta \to \infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x),}$

donde ess inf denota el ínfimo esencial . Heurísticamente, esto puede leerse como que para θ grande ,

${\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}$

Solicitud

El principio de Laplace se puede aplicar a la familia de medidas de probabilidad P _θ dada por

${\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\right){\bigg /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,dy\right)}$

para dar una expresión asintótica para la probabilidad de algún evento A cuando θ se hace grande. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria distribuida normalmente en R , entonces

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}$

para cada conjunto medible A .

Véase también

• El método de Laplace

Referencias

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Grandes desviaciones, técnicas y aplicaciones . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 38 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. Señor 1619036