Presentación de un monoide

En álgebra , una presentación de un monoide (o una presentación de un semigrupo ) es una descripción de un monoide (o un semigrupo ) en términos de un conjunto Σ de generadores y un conjunto de relaciones sobre el monoide libre Σ ^∗ (o el libre semigrupo Σ ⁺ ) generado por Σ . Luego, estas relaciones presentan el monoide como el cociente del monoide libre (o del semigrupo libre). Esto es un análogo de una presentación grupal en teoría de grupos .

Como estructura matemática, una presentación monoide es idéntica a un sistema de reescritura de cadenas (también conocido como sistema semi-Thue). Cada monoide puede presentarse mediante un sistema semi-Thue (posiblemente sobre un alfabeto infinito). ^[1]

No debe confundirse una presentación con una representación .

Construcción

Las relaciones se dan como una relación binaria (finita) R en Σ ^∗ . Para formar el cociente monoide, estas relaciones se extienden a congruencias monoides de la siguiente manera:

Primero, se toma el cierre simétrico R ∪ R ⁻¹ de R . Esto luego se extiende a una relación simétrica E ⊂ Σ ^∗ × Σ ^∗ definiendo x ~ _E y si y sólo si x = sut e y = svt para algunas cadenas u , v , s , t ∈ Σ ^∗ con ( u , v ) ∈ R ∪ R ⁻¹ . Finalmente, se toma la clausura reflexiva y transitiva de E , que entonces es una congruencia monoide.

En la situación típica, la relación R simplemente se da como un conjunto de ecuaciones, de modo que . Así, por ejemplo, ${\displaystyle R=\{u_{1}=v_{1},\ldots ,u_{n}=v_{n}\}}$

${\displaystyle \langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle }$

es la presentación ecuacional del monoide bicíclico , y

${\displaystyle \langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle }$

es el monoide plástico de grado 2 (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide plástico pueden escribirse como para números enteros i , j , k , ya que las relaciones muestran que ba conmuta tanto con a como con b . ${\displaystyle a^{i}b^{j}(ba)^{k}}$

Monoides inversos y semigrupos.

Las presentaciones de monoides inversos y semigrupos se pueden definir de manera similar usando un par

${\displaystyle (X;T)}$

dónde

${\displaystyle (X\cup X^{-1})^{*}}$

es el monoide libre con involución en , y ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T\subseteq (X\cup X^{-1})^{*}\times (X\cup X^{-1})^{*}}$

es una relación binaria entre palabras. Denotamos por ( respectivamente ) la relación de equivalencia (respectivamente, la congruencia ) generada por T. ${\displaystyle T^{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle T^{\mathrm {c} }}$

Usamos este par de objetos para definir un monoide inverso.

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle .}$

Sea la congruencia de Wagner en , definimos el monoide inverso ${\displaystyle \rho _{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle }$

presentado por como ${\displaystyle (X;T)}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle =(X\cup X^{-1})^{*}/(T\cup \rho _{X})^{\mathrm {c} }.}$

En la discusión anterior, si reemplazamos en todas partes con obtenemos una presentación (para un semigrupo inverso) y un semigrupo inverso presentado por . ${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{*}}$ ${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{+}}$ ${\displaystyle (X;T)}$ ${\displaystyle \mathrm {Inv} \langle X|T\rangle }$ ${\displaystyle (X;T)}$

Un ejemplo trivial pero importante es el monoide inverso libre (o semigrupo inverso libre ) en , que generalmente se denota por (respectivamente ) y se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)=\mathrm {Inv} ^{1}\langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{*}/\rho _{X},}$

o

${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)=\mathrm {Inv} \langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{+}/\rho _{X}.}$

Notas

1. Libro y Otto, Teorema 7.1.7, p. 149

Referencias

• John M. Howie, Fundamentos de la teoría de semigrupos (1995), Clarendon Press, Oxford ISBN  0-19-851194-9
• M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de coronas , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 . 
• Ronald V. Book y Friedrich Otto, Sistemas de reescritura de cadenas , Springer, 1993, ISBN 0-387-97965-4 , capítulo 7, "Propiedades algebraicas"