Modelo de histéresis de Preisach

Modelo de histéresis magnética

En electromagnetismo , el modelo de histéresis de Preisach es un modelo de histéresis magnética . Originalmente, generalizaba la histéresis como la relación entre el campo magnético y la magnetización de un material magnético como la conexión en paralelo de histerones de relé independientes . Fue sugerido por primera vez en 1935 por Ferenc (Franz) Preisach en la revista académica alemana Zeitschrift für Physik . ^[1] En el campo del ferromagnetismo , a veces se piensa que el modelo de Preisach describe un material ferromagnético como una red de pequeños dominios que actúan independientemente , cada uno magnetizado a un valor de o . Una muestra de hierro , por ejemplo, puede tener dominios magnéticos distribuidos uniformemente, lo que resulta en un momento magnético neto de cero. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -h}$

Parece que se han desarrollado modelos matemáticos similares de forma independiente en otros campos de la ciencia y la ingeniería. Un ejemplo notable es el modelo de histéresis capilar en materiales porosos desarrollado por Everett y sus colaboradores. Desde entonces, siguiendo el trabajo de personas como M. Krasnoselkii, A. Pokrovskii, A. Visintin e ID Mayergoyz, el modelo ha sido ampliamente aceptado como una herramienta matemática general para la descripción de fenómenos de histéresis de diferentes tipos. ^{[2] [3]}

Relé no ideal

El histero de relé es el componente fundamental del modelo de Preisach. Se describe como un operador de dos valores denotado por . Su mapa de E/S adopta la forma de un bucle, como se muestra: ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

Arriba, un relé de magnitud 1, define el umbral de "apagado", y define el umbral de "encendido". ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Gráficamente, si es menor que , la salida es "baja" o "apagada". A medida que aumentamos , la salida permanece baja hasta que alcanza , momento en el que la salida se "enciende". Un aumento adicional no tiene cambios. Si disminuye , no baja hasta que alcanza nuevamente. Es evidente que el operador de relé toma la ruta de un bucle y su próximo estado depende de su estado anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

Matemáticamente, la salida de se expresa como: ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

${\displaystyle y(x)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}x\geq \beta \\0&{\mbox{ if }}x\leq \alpha \\k&{\mbox{ if }}\alpha <x<\beta \end{cases}}}$

Donde si la última vez fue fuera de los límites , fue en la región de ; y si la última vez fue fuera de los límites , fue en la región de . ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha <x<\beta }$ ${\displaystyle x\leq \alpha }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha <x<\beta }$ ${\displaystyle x\geq \beta }$

Esta definición del histerón muestra que el valor actual del bucle de histéresis completo depende del historial de la variable de entrada . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Modelo de Preisach discreto

El modelo de Preisach consta de muchos histerones de relé conectados en paralelo, con pesos asignados y sumados. Esto se puede visualizar mediante un diagrama de bloques:

Cada uno de estos relés tiene umbrales y diferentes y se escala en . Al aumentar , la curva de histéresis real se aproxima mejor. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$

Un ejemplo de histéresis modelada con diferentes números, N, de histerones.

En el límite, a medida que tiende al infinito, obtenemos el modelo continuo de Preisach. ^{[4] [5]} ${\displaystyle N}$

${\displaystyle y(t)=\iint _{\alpha \geq \beta }\mu (\alpha ,\beta )R_{\alpha \beta }x(t)d\alpha d\beta }$

Avión de Preisach

Una de las formas más sencillas de analizar el modelo de Preisach es mediante una interpretación geométrica. Consideremos un plano de coordenadas . En este plano, cada punto se asigna a un histerono de relé específico . Cada relé se puede trazar en este denominado plano de Preisach con sus valores. Dependiendo de su distribución en el plano de Preisach, los histeronos de relé pueden representar la histéresis con buena precisión. ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$ ${\displaystyle R_{\alpha _{i},\beta _{i}}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$

Consideramos únicamente el semiplano ya que cualquier otro caso no tiene un equivalente físico en la naturaleza. ${\displaystyle \alpha <\beta }$

A continuación, tomamos un punto específico en el semiplano y construimos un triángulo rectángulo dibujando dos líneas paralelas a los ejes, ambas desde el punto hasta la línea . ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Ahora presentamos la función de densidad de Preisach, denotada como . Esta función describe la cantidad de histerones de relevo de cada valor distinto de . Como valor predeterminado, decimos que fuera del triángulo rectángulo . ${\displaystyle \mu (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$ ${\displaystyle \mu (\alpha ,\beta )=0}$

Se ha presentado una formulación modificada del modelo clásico de Preisach, que permite la expresión analítica de la función de Everett. ^[6] Esto hace que el modelo sea considerablemente más rápido y especialmente adecuado para su inclusión en códigos de cálculo de campos electromagnéticos o de análisis de circuitos eléctricos .

Modelo vectorial de Preisach

El modelo vectorial de Preisach se construye como la superposición lineal de modelos escalares. ^[7] Para considerar la anisotropía uniaxial del material, las funciones de Everett se expanden mediante coeficientes de Fourier . En este caso, las curvas medidas y simuladas concuerdan muy bien. ^[8] Otro enfoque utiliza diferentes histéresis de relé, superficies cerradas definidas en el espacio de entrada 3D. En general, se utiliza la histéresis esférica para la histéresis vectorial en 3D, ^[9] y la histéresis circular para la histéresis vectorial en 2D. ^[10]

Aplicaciones

El modelo de Preisach se ha aplicado para modelar la histéresis en una amplia variedad de campos, incluido el estudio de cambios irreversibles en la conductividad hidráulica del suelo como resultado de condiciones salinas y sódicas, ^[11] el modelado de la retención de agua del suelo ^{[12] [13] [14] [15]} y el efecto del estrés y las deformaciones en las estructuras del suelo y las rocas. ^[16]

Véase también

• Modelo de Jiles-Atherton
• Modelo de Stoner-Wohlfarth

Referencias

1. Preisach, F (1935). "Über die magnetische Nachwirkung". Zeitschrift für Physik . 94 (5–6): 277–302. Código bibliográfico : 1935ZPhy...94..277P. doi :10.1007/bf01349418. S2CID  122409841.
2. Smith, Ralph C. (2005). Sistemas de materiales inteligentes: desarrollo de modelos . Filadelfia, Pensilvania: SIAM, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. pág. 189. ISBN 978-0-89871-583-5.
3. Visintin, Augusto (1994). Modelos diferenciales de histéresis . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-11557-2.
4. Mayergoyz, ID; Friedman, G. (1988). "Modelo de histéresis de Preisach generalizado". IEEE Transactions on Magnetics . 24 (1). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 212–217. Bibcode :1988ITM....24..212M. doi :10.1109/20.43892. ISSN  0018-9464.
5. Mayergoyz, ID (1991). "El modelo clásico de Preisach de histéresis". Modelos matemáticos de histéresis . Nueva York, NY: Springer New York. págs. 1–63. doi :10.1007/978-1-4612-3028-1_1. ISBN 978-1-4612-7767-5.ID S2C  118969949.
6. Szabó, Zsolt (febrero de 2006). "Funciones de Preisach que conducen a la permeabilidad en forma cerrada". Physica B: Condensed Matter . 372 (1–2): 61–67. Bibcode :2006PhyB..372...61S. doi :10.1016/j.physb.2005.10.020.
7. Mayergoyz, ID (2003). Modelos matemáticos de histéresis y sus aplicaciones (1.ª ed.). Ámsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-12-480873-7.
8. Kuczmann, Miklos; Stoleriu, Laurentiu. "Modelo de Preisach vectorial anisotrópico" (pdf) . Journal of Advanced Research in Physics . 1 (1): 011009. Consultado el 3 de agosto de 2016 .
9. Cardelli, Ermanno; Della Torre, Edward; Faba, Antonio (2010). "Un operador de histéresis vectorial general: extensión al caso 3-D". IEEE Transactions on Magnetics . 46 (12): 3990–4000. Bibcode :2010ITM....46.3990C. doi :10.1109/tmag.2010.2072933. S2CID  31552464.
10. Cardelli, Ermanno (2011). "Un operador de histéresis general para el modelado de campos vectoriales". IEEE Transactions on Magnetics . 47 (8): 2056–2067. Bibcode :2011ITM....47.2056C. doi :10.1109/tmag.2011.2126589. S2CID  25965526.
11. Kramer, Isaac; Bayer, Yuval; Adeyemo, Taiwo; Mau, Yair (14 de abril de 2021). "Histéresis en la conductividad hidráulica del suelo impulsada por la salinidad y la sodicidad: un marco de modelado". Hidrología y Ciencias del Sistema Terrestre . 25 (4): 1993–2008. Bibcode :2021HESS...25.1993K. doi : 10.5194/hess-25-1993-2021 . ISSN  1027-5606.
12. Flynn, D; Rasskazov, O (1 de enero de 2005). "Sobre la integración de una EDO que implica la derivada de una no linealidad de Preisach". Journal of Physics: Conference Series . 22 (1): 43–55. Bibcode :2005JPhCS..22...43F. doi : 10.1088/1742-6596/22/1/003 . ISSN  1742-6588.
13. Flynn, Denis; Mcnamara, Hugh; O'kane, Philip; PokrovskÜ, Alexei (1 de enero de 2006), Bertotti, Giorgio; Mayergoyz, Isaak D. (eds.), "Capítulo 7 - Aplicación del modelo de Preisach a la histéresis de la humedad del suelo", The Science of Hysteresis , Oxford: Academic Press, págs. 689–744, doi :10.1016/b978-012480874-4/50025-7, ISBN 978-0-12-480874-4, consultado el 7 de febrero de 2022
14. O'Kane, JP; Flynn, D. (17 de enero de 2007). "Umbrales, interruptores e histéresis en hidrología desde la escala de pedón hasta la de cuenca: una teoría de sistemas no lineales". Hidrología y Ciencias del Sistema Terrestre . 11 (1): 443–459. Bibcode :2007HESS...11..443O. doi : 10.5194/hess-11-443-2007 . ISSN  1027-5606.
15. McNamara, H. (enero de 2014). "Una estimación de la disipación de energía debido a la histéresis de la humedad del suelo". Water Resources Research . 50 (1): 725–735. Bibcode :2014WRR....50..725M. doi :10.1002/2012wr012634. ISSN  0043-1397. S2CID  129547567.
16. Guyer, Robert A. (1 de enero de 2006), Bertotti, Giorgio; Mayergoyz, Isaak D. (eds.), "Capítulo 6 - Sistemas elásticos histeréticos: materiales geofísicos", The Science of Hysteresis , Oxford: Academic Press, págs. 555–688, doi :10.1016/b978-012480874-4/50024-5, ISBN 978-0-12-480874-4, consultado el 7 de febrero de 2022

Enlaces externos

• Tutorial de histéresis en University College, Cork
• Universidad de Tecnología y Economía de Budapest, Hungría Implementación de Matlab del modelo Preisach desarrollado por Zs. Szabó.
• [1] Implementación en Python del modelo Preisach.
• [2] Implementación de Matlab del modelo de Preisach.