Teorema de Prandtl-Batchelor

En dinámica de fluidos , el teorema de Prandtl-Batchelor establece que si en un flujo laminar bidimensional con un número de Reynolds alto se producen líneas de corriente cerradas, entonces la vorticidad en la región de la línea de corriente cerrada debe ser constante . Una afirmación similar es válida para los flujos axisimétricos. El teorema recibe su nombre de Ludwig Prandtl y George Batchelor . Prandtl, en su célebre artículo de 1904, enunció este teorema en argumentos, ^[1] George Batchelor, que desconocía este trabajo, demostró el teorema en 1956. ^{[2] [3]} El problema también fue estudiado en el mismo año por Richard Feynman y Paco Lagerstrom ^[4] y por WW Wood en 1957. ^[5]

Prueba matemática

En números de Reynolds altos , el problema bidimensional gobernado por ecuaciones de Euler bidimensionales se reduce a resolver un problema para la función de corriente , que satisface ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\omega (\psi ),\quad \psi =\psi _{o}{\text{ on }}\partial D}$

donde es el único componente de vorticidad distinto de cero en la dirección del vector de vorticidad. Tal como está, el problema está mal planteado ya que la distribución de vorticidad puede tener un número infinito de posibilidades, todas las cuales satisfacen la ecuación y la condición de contorno. Esto no es cierto si ninguna línea de corriente es cerrada, en cuyo caso, cada línea de corriente puede rastrearse hasta el límite donde y por lo tanto su vorticidad correspondiente están prescritas. La dificultad surge solo cuando hay algunas líneas de corriente cerradas dentro del dominio que no se conectan al límite y uno puede suponer que en números de Reynolds altos, no está definido de manera única en regiones donde ocurren líneas de corriente cerradas. El teorema de Prandtl-Batchelor, sin embargo, afirma que este no es el caso y está definido de manera única en tales casos, a través de un examen adecuado del proceso limitante . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \omega (\psi )}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \omega (\psi )}$ ${\displaystyle \omega (\psi )}$ ${\displaystyle \omega (\psi )}$ ${\displaystyle Re\rightarrow \infty }$

La ecuación de vorticidad estable y adimensional en nuestro caso se reduce a

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {\omega } ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\omega .}$

Integrar la ecuación sobre una superficie que se encuentra completamente en la región donde tenemos líneas de corriente cerradas, delimitadas por un contorno cerrado ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {\omega } \,d\mathbf {S} ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\int _{S}\nabla ^{2}\omega \,d\mathbf {S} .}$

El integrando en el término del lado izquierdo se puede escribir como , ya que por el teorema de divergencia se obtiene ${\displaystyle \nabla \cdot (\omega \mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \oint _{C}\omega \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} dl={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} dl.}$

donde es el vector unitario exterior normal al elemento de la línea de contorno . El integrando del lado izquierdo puede hacerse cero si se toma el contorno como una de las líneas de corriente cerradas, ya que entonces el vector de velocidad proyectado normal al contorno será cero, es decir . Por lo tanto, se obtiene ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle dl}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} \ dl=0}$

Esta expresión es verdadera para números de Reynolds finitos pero grandes, ya que no descuidamos el término viscoso antes.

A diferencia de los flujos no viscosos bidimensionales, donde, dado que sin restricciones en la forma funcional de , en los flujos viscosos, . Pero para α grandes pero finitos , podemos escribir , y estas pequeñas correcciones se hacen cada vez más pequeñas a medida que aumentamos el número de Reynolds. Por lo tanto, en el límite , en la primera aproximación (despreciando las pequeñas correcciones), tenemos ${\displaystyle \omega =\omega (\psi )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \omega =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \neq \omega (\psi )}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} }$ ${\displaystyle \omega =\omega (\psi )+{\rm {small\ corrections}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} \rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} \ dl={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}{\frac {d\omega }{d\psi }}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} \ dl=0.}$

Como es constante para una línea de corriente dada, podemos sacar ese término fuera de la integral, ${\displaystyle d\omega /d\psi }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Re} }}{\frac {d\omega }{d\psi }}\oint _{C}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} \ dl=0.}$

Se puede observar que la integral es negativa de la circulación ya que

${\displaystyle \Gamma =-\oint _{C}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} =-\int _{S}\omega d\mathbf {S} =\int _{S}\nabla ^{2}\psi d\mathbf {S} =\oint _{C}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} dl}$

donde utilizamos el teorema de Stokes para la circulación y . Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi }$

${\displaystyle {\frac {\Gamma }{\mathrm {Re} }}{\frac {d\omega }{d\psi }}=0.}$

La circulación alrededor de esas líneas de corriente cerradas no es cero (a menos que la velocidad en cada punto de la línea de corriente sea cero con un posible salto de vorticidad discontinuo a través de la línea de corriente). La única forma en que se puede satisfacer la ecuación anterior es solo si

${\displaystyle {\frac {d\omega }{d\psi }}=0,}$

Es decir, la vorticidad no cambia a través de estas líneas de corriente cerradas, lo que demuestra el teorema. Por supuesto, el teorema no es válido dentro del régimen de capa límite. Este teorema no se puede derivar de las ecuaciones de Euler. ^[6]

Referencias

1. Prandtl, L. (1904). Über Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandl. III, Internacional. Math.-Kong., Heidelberg, Teubner, Leipzig, 1904, 484–491.
2. Batchelor, GK (1956). Flujo laminar constante con líneas de corriente cerradas con números de Reynolds elevados. Journal of Fluid Mechanics, 1(2), 177–190.
3. Davidson, PA (2016). Introducción a la magnetohidrodinámica (Vol. 55). Prensa de la Universidad de Cambridge.
4. Feynman, RP y Lagerstrom, PA (1956). Observaciones sobre flujos con números de Reynolds elevados en dominios finitos. En Proc. IX Congreso Internacional de Mecánica Aplicada (Vol. 3, págs. 342-343).
5. Wood, WW (1957). Capas límite cuyas líneas de corriente están cerradas. Journal of Fluid Mechanics, 2(1), 77-87.
6. Lagerstrom, PA (1975). Soluciones de la ecuación de Navier-Stokes para números de Reynolds grandes. Revista SIAM de matemáticas aplicadas, 28(1), 202-214.