Estricto 2 categorías

Generalización de la categoría

En teoría de categorías , una 2-categoría estricta es una categoría con " morfismos entre morfismos", es decir, donde cada conjunto hom lleva en sí mismo la estructura de una categoría. Puede definirse formalmente como una categoría enriquecida con Cat (la categoría de categorías y funtores , con la estructura monoidal dada por el producto de categorías ).

El concepto de 2-categoría fue introducido por primera vez por Charles Ehresmann en su trabajo sobre categorías enriquecidas en 1965. ^[1] El concepto más general de bicategoría (o 2- categoría débil ), donde la composición de morfismos es asociativa solo hasta un 2-isomorfismo, fue introducido en 1968 por Jean Bénabou . ^[2]

Definición

Una categoría C de 2  está compuesta por:

• Una clase de 0 celdas (u objetos ) A , B , ....
• Para todos los objetos A y B , existe una categoría . Los objetos de esta categoría se denominan celdas unicelulares y sus morfismos se denominan celdas bicelulares ; la composición en esta categoría se escribe habitualmente o y se denomina composición vertical o composición a lo largo de una celda unicelular . ${\displaystyle \mathbf {C} (A,B)}$ ${\displaystyle f,g:A\to B}$ ${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ _{1}}$
• Para cualquier objeto  A hay un funtor de la categoría terminal (con un objeto y una flecha) que selecciona la identidad de 1 celda  id _A en A y su identidad _de 2 celdas  id _A . En la práctica, estos dos se denotan a menudo simplemente por A . ${\displaystyle \mathbf {C} (A,A)}$
• Para todos los objetos A , B y C , existe un funtor , llamado composición horizontal o composición a lo largo de una celda 0 , que es asociativo y admite ^{[ aclaración necesaria ]} las celdas 1 y 2 de identidad de id _A como identidades. Aquí, la asociatividad para significa que componer horizontalmente dos veces a es independiente de cuál de los dos y se componen primero. El símbolo de composición se omite a menudo, y la composición horizontal de 2 celdas y se escribe simplemente como . ${\displaystyle \circ _{0}\colon \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)\to \mathbf {C} (A,C)}$ ${\displaystyle \circ _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (A,D)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)}$ ${\displaystyle \circ _{0}}$ ${\displaystyle \alpha \colon f\Rightarrow g\colon A\to B}$ ${\displaystyle \beta \colon f'\Rightarrow g'\colon B\to C}$ ${\displaystyle \beta \alpha \colon f'f\Rightarrow g'g\colon A\to C}$

La terminología de 0-celdas , 1-celdas y 2-celdas se reemplaza por 0-morfismos , 1-morfismos y 2-morfismos en algunas fuentes ^[3] (ver también Teoría de categorías superiores ).

La noción de 2-categoría difiere de la noción más general de bicategoría en que se requiere que la composición de celdas 1 (composición horizontal) sea estrictamente asociativa, mientras que en una bicategoría solo necesita ser asociativa hasta un isomorfismo 2. Los axiomas de una 2-categoría son consecuencias de su definición como categorías enriquecidas con Cat :

• La composición vertical es asociativa y unitaria, siendo las unidades las 2 celdas identidad id _f .
• La composición horizontal también es (estrictamente) asociativa y unitaria, siendo las unidades las 2-celdas identidad id _{id A} en las 1-celdas identidad id _A.
• La ley de intercambio se cumple; es decir, es cierto que para celdas de 2 celdas componibles ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$

${\displaystyle (\alpha \circ _{0}\beta )\circ _{1}(\gamma \circ _{0}\delta )=(\alpha \circ _{1}\gamma )\circ _{0}(\beta \circ _{1}\delta )}$

La ley de intercambio se desprende del hecho de que es un funtor entre categorías hom. Puede dibujarse como un diagrama de pegado de la siguiente manera: ${\displaystyle \circ _{0}}$

Aquí, el diagrama de la izquierda denota la composición vertical de los compuestos horizontales, el diagrama de la derecha denota la composición horizontal de los compuestos verticales y el diagrama del centro es la representación habitual de ambos. Las celdas 2 se dibujan con flechas dobles ⇒, las celdas 1 con flechas simples → y las celdas 0 con puntos.

Ejemplos

La categoría Ord (de conjuntos preordenados) es una 2-categoría ya que los conjuntos preordenados pueden interpretarse fácilmente como categorías.

Categoría de categorías pequeñas

La categoría 2 arquetípica es la categoría de categorías pequeñas , con transformaciones naturales que sirven como 2-morfismos; típicamente los 2-morfismos se dan con letras griegas (como la anterior) por esta razón. ${\displaystyle \alpha }$

Los objetos ( celdas 0 ) son todos categorías pequeñas y, para todos los objetos A y B, la categoría es una categoría de functor . En este contexto, la composición vertical es ^[4] la composición de las transformaciones naturales. ${\displaystyle \mathbf {C} (A,B)}$

Doctrinas

En matemáticas, una doctrina es simplemente una categoría de dos elementos que se considera heurísticamente como un sistema de teorías. Por ejemplo, las teorías algebraicas , inventadas por William Lawvere , son un ejemplo de doctrina, al igual que las teorías multiclasificadas, las operadas , las categorías y los topos .

Los objetos de la 2-categoría se llaman teorías , los 1-morfismos se llaman modelos de A en B , y los 2-morfismos se llaman morfismos entre modelos. ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$

La distinción entre una 2-categoría y una doctrina es en realidad sólo heurística: no se considera que una 2-categoría esté poblada de teorías como objetos y modelos como morfismos. Es este vocabulario lo que hace que valga la pena la teoría de las doctrinas.

Por ejemplo, la categoría 2 de categorías, funtores y transformaciones naturales es una doctrina. Se ve inmediatamente que todas las categorías prehaz son categorías de modelos.

Como otro ejemplo, se puede tomar la subcategoría de Cat, que consiste únicamente en categorías con productos finitos como objetos y funtores que preservan el producto como 1-morfismos. Esta es la doctrina de las teorías algebraicas multiordenadas. Si uno solo quisiera teorías algebraicas 1-ordenadas, restringiría los objetos únicamente a aquellas categorías que se generan bajo productos de un solo objeto.

Las doctrinas fueron descubiertas por Jonathan Mock Beck .

Véase también

• n -categoría
• 2-categoría en el laboratorio n

Referencias

1. Charles Ehresmann , Catégories etstructures, Dunod, París 1965.
2. Jean Bénabou , Introducción a las bicategorías, en Informes del Midwest Category Seminar, Springer, Berlín, 1967, págs. 1-77.
3. "2-categoría en nLab". ncatlab.org . Consultado el 20 de febrero de 2023 .
4. "Composición vertical en nLab". ncatlab.org . Consultado el 20 de febrero de 2023 .

Notas al pie

• Modelos algebraicos generalizados , por Claudia Centazzo.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Categoría estricta 2 en Wikimedia Commons