En geometría, un politopo de Hanner es un politopo convexo construido recursivamente mediante producto cartesiano y operaciones duales polares . Los politopos de Hanner llevan el nombre de Olof Hanner , quien los introdujo en 1956. [1]
Los politopos de Hanner se construyen recursivamente mediante las siguientes reglas: [2]
Son exactamente los politopos que se pueden construir usando sólo estas reglas: es decir, cada politopo de Hanner se puede formar a partir de segmentos de línea mediante una secuencia de operaciones duales y producto. [2]
Alternativa y equivalente a la operación dual polar, los politopos de Hanner pueden construirse mediante productos cartesianos y sumas directas , el dual de los productos cartesianos. Esta operación de suma directa combina dos politopos colocándolos en dos subespacios linealmente independientes de un espacio mayor y luego construyendo el casco convexo de su unión. [3] [4]
Un cubo es un politopo de Hanner y puede construirse como un producto cartesiano de tres segmentos de línea. Su dual, el octaedro , es también un politopo de Hanner, la suma directa de tres segmentos de recta. En tres dimensiones, todos los politopos de Hanner son combinatoriamente equivalentes a uno de estos dos tipos de politopos. [5] En dimensiones superiores, los hipercubos y politopos cruzados , análogos del cubo y el octaedro, son nuevamente politopos de Hanner. Sin embargo, son posibles más ejemplos. Por ejemplo, el prisma octaédrico , un prisma de cuatro dimensiones con un octaedro como base, también es un politopo de Hanner, al igual que su dual, la bipirámide cúbica .
A cada politopo de Hanner se le pueden asignar coordenadas de vértice que son 0, 1 o −1. [6] Más explícitamente, si P y Q son politopos de Hanner con coordenadas en esta forma, entonces las coordenadas de los vértices del producto cartesiano de P y Q se forman concatenando las coordenadas de un vértice en P con las coordenadas de un vértice. en Q. Las coordenadas de los vértices de la suma directa de P y Q se forman ya sea concatenando las coordenadas de un vértice en P con un vector de ceros, o concatenando un vector de ceros con las coordenadas de un vértice en Q.
Debido a que el dual polar de un politopo de Hanner es otro politopo de Hanner, los politopos de Hanner tienen la propiedad de que tanto ellos como sus duales tienen coordenadas en {0,1,−1}. [6]
Cada politopo de Hanner es centralmente simétrico y tiene exactamente 3 caras no vacías (incluido el politopo en sí como cara pero sin incluir el conjunto vacío). Por ejemplo, el cubo tiene 8 vértices, 12 aristas, 6 cuadrados y 1 cubo (él mismo) como caras; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3 3 . Los politopos de Hanner forman una clase importante de ejemplos para la conjetura tridimensional de Kalai de que todos los politopos centralmente simétricos tienen al menos caras tridimensionales no vacías. [3]
En un politopo de Hanner, cada dos facetas opuestas están separadas y juntas incluyen todos los vértices del politopo, de modo que el casco convexo de las dos facetas es el politopo completo. [6] [7] Como simple consecuencia de este hecho, todas las facetas de un politopo de Hanner tienen el mismo número de vértices entre sí (la mitad del número de vértices de todo el politopo). Sin embargo, es posible que no todas las facetas sean isomorfas entre sí. Por ejemplo, en el prisma octaédrico , dos de las facetas son octaedros y las otras ocho facetas son prismas triangulares . De manera dual, en cada politopo de Hanner, cada dos vértices opuestos tocan conjuntos de facetas disjuntos y juntos tocan todas las facetas del politopo.
El volumen de Mahler de un politopo de Hanner (el producto de su volumen por el volumen de su dual polar) es el mismo que el de un politopo cúbico o cruzado. Si la conjetura de Mahler es cierta, estos politopos son los minimizadores del volumen de Mahler entre todos los cuerpos convexos centralmente simétricos . [8]
Las traslaciones de un hipercubo (o de una transformación afín del mismo, un paralelotopo ) forman una familia Helly : cada conjunto de traslaciones que tienen intersecciones por pares no vacías tiene una intersección no vacía. Además, estos son los únicos cuerpos convexos que tienen esta propiedad. [9] Para cualquier otro politopo convexo centralmente simétrico K , Hanner (1956) definió I ( K ) como el número más pequeño de traducciones de K que no forman una familia Helly (se cruzan por pares pero tienen una intersección vacía). Demostró que I ( K ) es tres o cuatro, y dio los politopos de Hanner como ejemplos de politopos para los cuales es cuatro. Hansen y Lima (1981) demostraron más tarde que esta propiedad se puede utilizar para caracterizar los politopos de Hanner: son (hasta una transformación afín) exactamente los politopos para los cuales I ( K ) > 3. [10]
El número de tipos combinatorios de politopos de Hanner de dimensión d es el mismo que el número de gráficos simples en series paralelas con d aristas sin etiquetar. [4] Para d = 1, 2, 3, ... es:
Reisner (1991) ofrece una biyección más explícita entre los politopos de Hanner de dimensión d y los cografos con d vértices. Para esta biyección, se supone que los politopos de Hanner se representan geométricamente usando coordenadas en {0,1,−1} en lugar de clases de equivalencia combinatoria; en particular, hay dos formas geométricas diferentes de un politopo de Hanner incluso en dos dimensiones, el cuadrado con coordenadas de vértice (±1,±1) y el diamante con coordenadas de vértice (0,±1) y (±1,0). Dado un politopo d -dimensional con coordenadas de vértice en {0,1,−1}, Reisner define un gráfico asociado cuyos d vértices corresponden a los vectores unitarios del espacio que contiene el politopo, y para el cual dos vectores están conectados por una arista si su suma se encuentra fuera del politopo. Observa que las gráficas de los politopos de Hanner son cografías, que caracteriza de dos maneras: las gráficas sin camino inducido de longitud tres y las gráficas cuyos subgrafos inducidos son todos desconectados o complementos de gráficos desconectados. Por el contrario, cada cografo puede representarse de esta manera mediante un politopo de Hanner. [6]
Los politopos de Hanner son las bolas unitarias de una familia de espacios de Banach de dimensión finita llamados espacios de Hanner . [7] Los espacios de Hanner son los espacios que se pueden construir a partir de espacios unidimensionales mediante combinaciones . [1]
