En matemáticas , un polinomio de Hurwitz (llamado así por el matemático alemán Adolf Hurwitz ) es un polinomio cuyas raíces (ceros) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo o en el eje imaginario , es decir, la parte real de cada raíz es cero o negativa. [1] Un polinomio de este tipo debe tener coeficientes que sean números reales positivos . El término a veces se restringe a polinomios cuyas raíces tienen partes reales que son estrictamente negativas, excluyendo el eje imaginario (es decir, un polinomio estable de Hurwitz ). [2] [3]
Se dice que una función polinómica P ( s ) de una variable compleja s es Hurwitz si se cumplen las siguientes condiciones:
Los polinomios de Hurwitz son importantes en la teoría de sistemas de control , porque representan las ecuaciones características de los sistemas lineales estables . Se puede determinar si un polinomio es de Hurwitz resolviendo la ecuación para hallar las raíces, o a partir de los coeficientes sin resolver la ecuación mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz .
Un ejemplo simple de un polinomio de Hurwitz es:
La única solución real es −1, porque se factoriza como
En general, todos los polinomios cuadráticos con coeficientes positivos son de Hurwitz. Esto se desprende directamente de la fórmula cuadrática :
donde, si el discriminante b 2 −4 ac es menor que cero, entonces el polinomio tendrá dos soluciones complejas conjugadas con parte real − b /2 a , que es negativa para a y b positivos . Si el discriminante es igual a cero, habrá dos soluciones reales coincidentes en − b /2 a . Finalmente, si el discriminante es mayor que cero, habrá dos soluciones reales negativas, porque para a positivos , b y c .
Para que un polinomio sea Hurwitz, es necesario pero no suficiente que todos sus coeficientes sean positivos (excepto los polinomios cuadráticos, que también implican suficiencia). Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea Hurwitz es que cumpla el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Se puede probar de manera eficiente si un polinomio dado es Hurwitz o no utilizando la técnica de expansión de fracciones continuas de Routh.
