En geometría , un 4-politopo (a veces también llamado policoron , [1] policelda o poliedro ) es un politopo de cuatro dimensiones . [2] [3] Es una figura conexa y cerrada, compuesta por elementos politópicos de menor dimensión: vértices , aristas , caras ( polígonos ) y celdas ( poliedros ). Cada cara es compartida por exactamente dos celdas. Los 4-politopos fueron descubiertos por el matemático suizo Ludwig Schläfli antes de 1853. [4]
El análogo bidimensional de un 4-politopo es un polígono , y el análogo tridimensional es un poliedro .
Topológicamente, los 4-politopos están estrechamente relacionados con los panales uniformes , como el panal cúbico , que teselan el espacio tridimensional; de manera similar, el cubo tridimensional está relacionado con el mosaico cuadrado infinito bidimensional . Los 4-politopos convexos se pueden cortar y desplegar como redes en el espacio tridimensional.
Un 4-politopo es una figura cerrada de cuatro dimensiones . Está compuesto por vértices (puntos de esquina), aristas , caras y celdas . Una celda es el análogo tridimensional de una cara y, por lo tanto, es un poliedro . Cada cara debe unir exactamente dos celdas, de manera análoga a la forma en que cada arista de un poliedro une solo dos caras. Como cualquier politopo, los elementos de un 4-politopo no se pueden subdividir en dos o más conjuntos que también sean 4-politopos, es decir, no es un compuesto.
Los 4-politopos convexos regulares son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos . El 4-politopo más conocido es el teseracto o hipercubo, el análogo cuatridimensional del cubo.
Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido [5] dentro del mismo radio. El 4-símplex (5 celdas) es el caso más pequeño límite, y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden.
Los 4-politopos no se pueden ver en el espacio tridimensional debido a su dimensión adicional. Se utilizan varias técnicas para facilitar su visualización.
Las proyecciones ortogonales se pueden utilizar para mostrar distintas orientaciones de simetría de un politopo de cuatro dimensiones. Se pueden dibujar en 2D como gráficos de vértice-arista y se pueden mostrar en 3D con caras sólidas como envolventes proyectivas visibles .
Así como una forma tridimensional puede proyectarse sobre una hoja plana, una forma cuatridimensional puede proyectarse sobre un espacio tridimensional o incluso sobre una hoja plana. Una proyección común es el diagrama de Schlegel , que utiliza la proyección estereográfica de puntos sobre la superficie de una esfera tridimensional en tres dimensiones, conectados por bordes rectos, caras y celdas dibujadas en un espacio tridimensional.
De la misma manera que un corte a través de un poliedro revela una superficie de corte, un corte a través de un politopo de cuatro capas revela una "hipersuperficie" de corte en tres dimensiones. Una secuencia de dichas secciones puede utilizarse para comprender la forma general. La dimensión adicional puede equipararse con el tiempo para producir una animación fluida de estas secciones transversales.
Una red de un 4-politopo está compuesta de celdas poliédricas que están conectadas por sus caras y todas ocupan el mismo espacio tridimensional, así como las caras poligonales de una red de un poliedro están conectadas por sus aristas y todas ocupan el mismo plano.
La topología de cualquier 4-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [6]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar poliedros no se puede generalizar de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 4-politopos, cualquiera sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti más sofisticados. [6]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los 4-politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. [6]
Como todos los politopos, los 4-politopos pueden clasificarse según propiedades como " convexidad " y " simetría ".
A continuación se enumeran las distintas categorías de 4-politopos clasificados según los criterios anteriores:
Politopo 4-uniforme ( transitivo de vértice ):
Otros 4-politopos convexos :
Politopos cuatridimensionales uniformes infinitos del espacio tridimensional euclidiano (teselaciones uniformes de celdas convexas uniformes)
Politopos cuatridimensionales uniformes infinitos del espacio tridimensional hiperbólico (teselaciones uniformes de celdas convexas uniformes)
Politopo dual uniforme de 4 elementos ( transitivo celular ):
Otros:
Resumen de 4-politopos regulares :
Estas categorías incluyen únicamente los 4-politopos que presentan un alto grado de simetría. Son posibles muchos otros 4-politopos, pero no se han estudiado tan exhaustivamente como los incluidos en estas categorías.
