En matemáticas, un plano Hall es un plano proyectivo no desarguesiano construido por Marshall Hall Jr. (1943). [1] Hay ejemplos de orden p 2 n para cada primo p y cada entero positivo n siempre que p 2 n > 4 . [2]
La construcción original de los planos Hall se basó en el cuasicampo Hall (también llamado sistema Hall ), H de orden p 2 n para p a primo. La creación del plano a partir del cuasicampo sigue la construcción estándar (ver cuasicampo para más detalles).
Para construir un cuasicampo de Hall, comience con un campo de Galois , F = GF( p n ) para p un primo y un polinomio cuadrático irreducible f ( x ) = x 2 − rx − s sobre F . Extienda H = F × F , un espacio vectorial bidimensional sobre F , a un cuasicampo definiendo una multiplicación de los vectores por ( a , b ) ∘ ( c , d ) = ( ac − bd −1 f ( c ), ad − bc + br ) cuando d ≠ 0 y ( a , b ) ∘ ( c , 0) = ( ac , bc ) en caso contrario.
Escribiendo los elementos de H en términos de una base ⟨1, λ ⟩ , es decir, identificando ( x , y ) con x + λy cuando x e y varían sobre F , podemos identificar los elementos de F como los pares ordenados ( x , 0) , es decir, x + λ 0 . Las propiedades de la multiplicación definida que convierten el espacio vectorial derecho H en un cuasicampo son:
Otra construcción que produce planos Hall se obtiene aplicando la derivación a los planos desarguesianos .
Un proceso, debido a TG Ostrom, que reemplaza ciertos conjuntos de líneas en un plano proyectivo por conjuntos alternativos de tal manera que la nueva estructura sigue siendo un plano proyectivo se llama derivación . Te damos los detalles de este proceso. [4] Comience con un plano proyectivo π de orden n 2 y designe una línea ℓ como su línea en el infinito . Sea A el plano afín π ∖ ℓ . Un conjunto D de n + 1 puntos de ℓ se llama conjunto de derivación si para cada par de puntos distintos X e Y de A que determinan una línea que cruza ℓ en un punto de D , hay un subplano de Baer que contiene X , Y y D. (decimos que tales subplanos de Baer pertenecen a D .) Defina un nuevo plano afín D( A ) de la siguiente manera: Los puntos de D( A ) son los puntos de A . Las rectas de D( A ) son las rectas de π que no se encuentran con ℓ en un punto de D (restringido a A ) y los subplanos de Baer que pertenecen a D (restringidos a A ). El conjunto D( A ) es un plano afín de orden n 2 y éste, o su compleción proyectiva, se denomina plano derivado . [5]
El plano de Hall de orden 9 es el plano de Hall más pequeño y uno de los tres ejemplos más pequeños de un plano proyectivo finito no desarguesiano , junto con su dual y el plano de Hughes de orden 9 .
Aunque generalmente se construye de la misma manera que otros planos Hall, el plano Hall de orden 9 fue encontrado anteriormente por Oswald Veblen y Joseph Wedderburn en 1907. [7] Hay cuatro cuasicampos de orden nueve que se pueden usar para construir el plano Hall. de orden nueve. Tres de ellos son sistemas Hall generados por polinomios irreducibles f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x 2 − x − 1 o h ( x ) = x 2 + x − 1 . [8] El primero de ellos produce un cuasicampo asociativo, [9] es decir, un campo cercano , y fue en este contexto que el avión fue descubierto por Veblen y Wedderburn. Este plano a menudo se denomina plano de campo cercano de orden nueve.
El plano de Hall de orden 9 es el único plano proyectivo, finito o infinito, que tiene clase IVa.3 de Lenz-Barlotti . [10] Su grupo de automorfismo actúa sobre su línea de traducción (necesariamente única) de forma imprimitiva , teniendo 5 pares de puntos que el grupo conserva en forma de conjuntos; el grupo de automorfismo actúa como S 5 en estos 5 pares. [11]
El plano Hall de orden 9 admite cuatro unidades embebidas no equivalentes . [12] Dos de estos unitales surgen de las construcciones de Buekenhout [13] : uno es parabólico , cortando la recta de traslación en un solo punto, mientras que el otro es hiperbólico , cortando la recta de traslación en 4 puntos. Grüning [14] demostró que la última de estas dos unidades también se puede empotrar en el plano Hall dual. Otro de los unitales surge de la construcción de Barlotti y Lunardon. [15] El cuarto tiene un grupo de automorfismo de orden 8 isomorfo a los cuaterniones , y no forma parte de ninguna familia infinita conocida.