Entero transponible

Los dígitos de algunos números enteros específicos se permutan o desplazan cíclicamente cuando se los multiplica por un número n . Algunos ejemplos son:

• 142857 × 3 = 428571 (se desplaza cíclicamente un lugar hacia la izquierda)
• 142857 × 5 = 714285 (se desplaza cíclicamente un lugar hacia la derecha)
• 128205 × 4 = 512820 (se desplaza cíclicamente un lugar hacia la derecha)
• 076923 × 9 = 692307 (se desplaza cíclicamente dos lugares a la izquierda)

Estos números enteros específicos, conocidos como números enteros transponibles , pueden ser, pero no siempre, números cíclicos . La caracterización de dichos números se puede realizar mediante decimales periódicas (y, por lo tanto, las fracciones relacionadas) o directamente.

General

Para cualquier número entero coprimo con 10, su recíproco es un decimal periódico sin dígitos no periódicos. Por ejemplo, 1 ⁄ 143 = 0,006993 006993 006993 ...

Si bien la expresión de una sola serie con vinculum encima es adecuada, la intención de la expresión anterior es mostrar que las seis permutaciones cíclicas de 006993 se pueden obtener a partir de este decimal periódico si seleccionamos seis dígitos consecutivos del decimal periódico comenzando desde diferentes dígitos.

Esto ilustra que las permutaciones cíclicas están relacionadas de alguna manera con los decimales repetidos y las fracciones correspondientes.

El máximo común divisor (mcd) entre cualquier permutación cíclica de un entero de m dígitos y 10 ^m  − 1 es constante. Expresado como una fórmula,

${\displaystyle \gcd \left(N,10^{m}-1\right)=\gcd \left(N_{c},10^{m}-1\right),}$

donde N es un entero de m dígitos; y N _c es cualquier permutación cíclica de N .

Por ejemplo,

 mcd(091575, 999999) = mcd(3 2 × 5 2 × 11 × 37, 3 3 × 7 × 11 × 13 × 37) = 3663 = mcd(915750, 999999) = mcd(157509, 999999) = mcd(575091, 999999) = mcd(750915, 999999) = mcd(509157, 999999)

Si N es un entero de m dígitos, el número N _c , obtenido al desplazar N hacia la izquierda cíclicamente, se puede obtener de:

${\displaystyle N_{c}=10N-d\left(10^{m}-1\right),\,}$

donde d es el primer dígito de N y m es el número de dígitos.

Esto explica el mcd común anterior y el fenómeno es cierto en cualquier base si 10 se reemplaza por b , la base.

Las permutaciones cíclicas se relacionan, por tanto, con los decimales periódicos, las fracciones correspondientes y los divisores de 10 ^m −1. Por ejemplo, las fracciones relacionadas con las permutaciones cíclicas anteriores son las siguientes:

• 091575 ⁄ 999999 , 915750 ⁄ 999999 , 157509 ⁄ 999999 , 575091 ⁄ 999999 , 750915 ⁄ 999999 y 509157 ⁄ 999999 .

Reducidos a sus términos más bajos utilizando el mcd común, son:

• 25 ⁄ 273 , 250 ⁄ 273 , 43 ⁄ 273 , 157 ⁄ 273 , 205 ⁄ 273 y 139 ⁄ 273 .

Es decir, estas fracciones, cuando se expresan en su mínima expresión , tienen el mismo denominador. Esto es cierto para las permutaciones cíclicas de cualquier número entero.

Método de fracciones

Multiplicador integral

Un multiplicador integral se refiere a que el multiplicador n es un número entero:

1. Un entero X se desplaza a la derecha cíclicamente k posiciones cuando se multiplica por un entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F es F ₀ = n  10 ^k − 1 ( F ₀ es coprimo con 10), o un factor de F ₀ ; excluyendo cualquier valor de F que no sea mayor que n .
2. Un entero X se desplaza a la izquierda cíclicamente k posiciones cuando se multiplica por un entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F es F ₀ = 10 ^k - n , o un factor de F ₀ ; excluyendo cualquier valor de F que no sea mayor que n y que no sea coprimo con 10.

Es necesario que F sea coprimo con 10 para que 1 ⁄ F sea un decimal periódico sin dígitos no periódicos anteriores (consulte las distintas secciones de Decimal periódico ). Si hay dígitos que no están en un período, entonces no hay una solución correspondiente.

Para estos dos casos, los múltiplos de X , es decir ( j X ) también son soluciones siempre que el entero i satisfaga la condición n j ⁄ F < 1. Lo más frecuente es que sea conveniente elegir el F más pequeño que se ajuste a lo anterior. Las soluciones se pueden expresar mediante la fórmula:

${\displaystyle X=j{\frac {10^{p}-1}{F}}}$

donde p es una longitud de período de 1 ⁄ F ; y F es un factor de F ₀ coprimo a 10.

Por ejemplo, F ₀ = 1260 = 2 ² × 3 ² × 5 × 7. Los factores que excluyen 2 y 5 se recomponen en F = 3 ² × 7 = 63. Alternativamente, elimine todos los ceros finales de 1260 para obtener 126 y luego divídalo por 2 (o 5) de manera iterativa hasta que el cociente ya no sea divisible por 2 (o 5). El resultado también es F = 63.

Para excluir de las soluciones los números enteros que comienzan con cero, seleccione un número entero j tal que j ⁄ F > 1 ⁄ 10 , es decir, j > F ⁄ 10 .

No hay solución cuando n > F .

Multiplicador fraccionario

Un entero X se desplaza a la izquierda cíclicamente k posiciones cuando se multiplica por una fracción n ⁄ s . X es entonces los dígitos repetidos de s ⁄ F , donde F es F ₀ = s 10 ^k - n , o un factor de F ₀ ; y F debe ser coprimo a 10.

Para este tercer caso, los múltiplos de X , es decir ( j X ) son nuevamente soluciones pero la condición a cumplir para el entero j es que n j ⁄ F < 1. Nuevamente es conveniente elegir el F más pequeño que se ajuste a lo anterior.

Las soluciones se pueden expresar mediante la fórmula:

${\displaystyle X=js{\frac {10^{p}-1}{F}}}$

donde p se define de la misma manera; y F se hace coprimo con 10 mediante el mismo proceso que antes.

Para excluir de las soluciones los números enteros que comienzan con cero, seleccione un número entero j tal que j s ⁄ F > 1 ⁄ 10 , es decir, j > F ⁄ 10 s .

De nuevo si j s ⁄ F > 1, no hay solución.

Representación directa

El enfoque del álgebra directa para los casos anteriores del multiplicador integral conduce a la siguiente fórmula:

1. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{n10^{k}-1}},}$

   donde m es el número de dígitos de X , y D , el número de k dígitos desplazado desde el extremo inferior de X al extremo superior de n X , satisface D < 10 ^k .

   Si los números no deben tener ceros a la izquierda, entonces n  10 ^{k  − 1} ≤ D .

2. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{10^{k}-n}},}$

   donde m es el número de dígitos de X , y D , el número de k dígitos desplazado desde el extremo superior de X al extremo inferior de n X , satisface:

   1. ${\displaystyle D<{\frac {10^{k}}{n}}-1,}$
   2. y la décima parte (el producto de los términos correspondientes a los primos 2 y 5 de la factorización ) de 10 ^k  −  n divide a D .

      La décima parte de un entero t se abrevia a menudo ${\displaystyle \operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).}$

   Si los números no deben tener ceros a la izquierda, entonces 10 ^{k  − 1} ≤ D .

Permutación cíclica por multiplicación

Una división larga de 1 por 7 da:

 0,142857... 7 ) 1.000000 .7 3 28 2 14 6 56 4 35 5 49 1

En el último paso, el 1 reaparece como resto. Los restos cíclicos son {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Reescribimos los cocientes con los dividendos/restos correspondientes encima de ellos en todos los pasos:

 Dividendos/Restos 1 3 2 6 4 5 Cocientes 1 4 2 8 5 7

y tenga en cuenta también que:

• 1 ⁄ 7 = 0,142857...
• 3 ⁄ 7 = 0,428571...
• 2 ⁄ 7 = 0,285714...
• 6 ⁄ 7 = 0,857142...
• 4 ⁄ 7 = 0,571428...
• 5 ⁄ 7 = 0,714285...

Observando los restos en cada paso, podemos realizar una permutación cíclica deseada por multiplicación. Por ejemplo,

• El entero 142857, correspondiente al resto 1, se permuta a 428571 al multiplicarlo por 3, el resto correspondiente de este último.
• El entero 142857, correspondiente al resto 1, se permuta a 857142 al multiplicarlo por 6, el resto correspondiente de este último.
• El entero 857142, correspondiente al resto 6, se permuta a 571428 cuando se multiplica por 5 ⁄ 6 ; es decir, se divide por 6 y se multiplica por 5, el resto correspondiente de este último.

De esta manera, se puede realizar un desplazamiento cíclico hacia la izquierda o hacia la derecha de cualquier número de posiciones.

Menos importante aún, esta técnica se puede aplicar a cualquier número entero para desplazarse cíclicamente hacia la derecha o hacia la izquierda cualquier número determinado de lugares por la siguiente razón:

• Cada decimal periódico puede expresarse como un número racional (fracción).
• Todo número entero, al sumarlo con un punto decimal al frente y concatenarlo consigo mismo infinitas veces, se puede convertir en una fracción, por ejemplo, podemos transformar 123456 de esta manera en 0,123456123456..., que a su vez se puede convertir en la fracción 123456 ⁄ 999999 . Esta fracción se puede simplificar aún más, pero no lo haremos aquí.
• Para permutar el entero 123456 en 234561, todo lo que hay que hacer es multiplicar 123456 por 234561 ⁄ 123456. Esto parece trampa, pero si 234561 ⁄ 123456 es un número entero (en este caso no lo es), la misión está completa.

Prueba de la fórmula para la operación de desplazamiento cíclico a la derecha

Un entero X se desplaza cíclicamente k posiciones hacia la derecha cuando se multiplica por un entero n . Demuestre su fórmula.

Prueba

En primer lugar, reconozcamos que X son los dígitos periódicos de un decimal periódico , que siempre tiene un comportamiento cíclico en la multiplicación. El entero X y su múltiplo n X tendrán entonces la siguiente relación:

1. El entero X son los dígitos repetidos de la fracción 1 ⁄ F , digamos d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ , donde d _p , d _p-1 , ..., d ₃ , d ₂ y d ₁ representan cada uno un dígito y p es el número de dígitos.
2. El múltiplo n X es entonces los dígitos repetidos de la fracción n ⁄ F , digamos d _k d _k-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ...d _k+2 d _k+1 , que representa los resultados después del desplazamiento cíclico hacia la derecha de k posiciones.
3. F debe ser coprimo de 10 para que cuando 1 ⁄ F se exprese en decimal no haya dígitos precedentes que no se repitan; de lo contrario, el decimal periódico no posee un comportamiento cíclico en la multiplicación.
4. Si se toma como primer resto n, entonces 1 será el ( k + 1)° resto en la división larga para n ⁄ F para que tenga lugar esta permutación cíclica.
5. Para que n × 10 ^k = 1 (mod F ) entonces F será F ₀ = ( n × 10 ^k - 1), o un factor de F ₀ ; pero excluyendo cualquier valor no mayor que n y cualquier valor que tenga un factor común no trivial con 10, como se dedujo anteriormente.

Con esto finaliza la prueba.

Prueba de la fórmula para la operación de desplazamiento cíclico a la izquierda

Un entero X se desplaza cíclicamente k posiciones hacia la izquierda cuando se multiplica por un entero n . Demuestre su fórmula.

Prueba

En primer lugar, reconozcamos que X son los dígitos periódicos de un decimal periódico , que siempre posee un comportamiento cíclico en la multiplicación. El entero X y su múltiplo n X tendrán entonces la siguiente relación:

1. El número entero X son los dígitos repetidos de la fracción 1 ⁄ F , digamos d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ .
2. El múltiplo n X es entonces los dígitos repetidos de la fracción n ⁄ F , digamos d _p-k d _p-k-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ...d _p-k+1 ,

que representa los resultados después del desplazamiento cíclico hacia la izquierda de k posiciones.

1. F debe ser coprimo de 10 para que 1 ⁄ F no tenga dígitos precedentes que no se repitan; de lo contrario, el decimal periódico no posee un comportamiento cíclico en la multiplicación.
2. Si se toma como primer resto 1, entonces n será el ( k + 1)º resto en la división larga para 1 ⁄ F para que tenga lugar esta permutación cíclica.
3. Para que 1 × 10 ^k = n (modo F ), entonces F será F ₀ = (10 ^k - n ), o un factor de F ₀ ; pero excluyendo cualquier valor no mayor que n , y cualquier valor que tenga un factor común no trivial con 10, como se dedujo anteriormente.

Esto completa la prueba. La prueba para un multiplicador no entero como n ⁄ s se puede obtener de manera similar y no está documentada aquí.

Desplazamiento cíclico de un número entero

Las permutaciones pueden ser:

• Desplazamiento cíclico hacia la derecha en una sola posición ( números parásitos );
• Desplazamiento cíclico hacia la derecha mediante posiciones dobles;
• Desplazarse hacia la derecha cíclicamente cualquier número de posiciones;
• Desplazamiento cíclico hacia la izquierda en una sola posición;
• Desplazamiento cíclico hacia la izquierda en posiciones dobles; y
• Desplazamiento cíclico hacia la izquierda cualquier número de posiciones

Números parásitos

Cuando un número parásito se multiplica por n, no solo exhibe el comportamiento cíclico sino que la permutación es tal que el último dígito del número parásito ahora se convierte en el primer dígito del múltiplo. Por ejemplo, 102564 x 4 = 410256. Nótese que 102564 son los dígitos repetidos de 4 ⁄ 39 y 410256 los dígitos repetidos de 16 ⁄ 39 .

Desplazamiento cíclico a la derecha mediante posiciones dobles

Un entero X se desplaza cíclicamente a la derecha en posiciones dobles cuando se multiplica por un entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F = n × 10 ² - 1; o un factor de este; pero excluyendo los valores para los cuales 1 ⁄ F tiene una longitud de período que divide a 2 (o, equivalentemente, menor que 3); y F debe ser coprimo con 10.

La mayoría de las veces es conveniente elegir la F más pequeña que se ajuste a lo anterior.

Resumen de resultados

La siguiente multiplicación mueve los dos últimos dígitos de cada entero original a los dos primeros dígitos y desplaza todos los demás dígitos hacia la derecha:

Tenga en cuenta que:

• 299 = 13 x 23, y el período de 1 ⁄ 299 se determina con precisión mediante la fórmula, MCM(6, 22) = 66, de acuerdo con Decimal periódico#Generalización .
• 399 = 3 x 7 x 19, y el período de 1 ⁄ 399 se determina con precisión mediante la fórmula, MCM(1, 6, 18) = 18.

Hay muchas otras posibilidades.

Desplazamiento cíclico hacia la izquierda en una sola posición

Problema: Un entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda una sola posición cuando se multiplica por 3. Halla X.

Solución: Primero, reconozca que X son los dígitos periódicos de un decimal periódico , que siempre posee un comportamiento cíclico interesante en las multiplicaciones. El entero X y su múltiplo tendrán entonces la siguiente relación:

• El número entero X son los dígitos repetidos de la fracción 1 ⁄ F , digamos ab*** .
• El múltiplo es entonces la cifra repetida de la fracción 3 ⁄ F , digamos b***a .
• Para que se produzca esta permutación cíclica, el siguiente resto en la división larga de 1 ⁄ F será 3. Por lo tanto, F será 7, ya que 1 × 10 ÷ 7 da un resto 3.

Esto produce los siguientes resultados:

X = los dígitos repetidos de 1 ⁄ 7

=142857, y

el múltiplo = 142857 × 3 = 428571, los dígitos repetidos de 3 ⁄ 7

La otra solución está representada por 2 ⁄ 7 x 3 = 6 ⁄ 7 :

• 285714 x 3 = 857142

No hay otras soluciones ^[1] porque:

• El entero n debe ser el resto subsiguiente en una división larga de una fracción 1 ⁄ F . Dado que n = 10 - F, y F es coprimo con 10 para que 1 ⁄ F sea un decimal periódico, entonces n debe ser menor que 10.
• Para n = 2, F debe ser 10 - 2 = 8. Sin embargo, 1 ⁄ 8 no genera un decimal periódico, de manera similar para n = 5.
• Para n = 7, F debe ser 10 - 7 = 3. Sin embargo, 7 > 3 y 7 ⁄ 3 = 2,333 > 1 y no se ajusta al propósito.
• De manera similar, no hay solución para ningún otro entero de n menor que 10 excepto n = 3.

Sin embargo, si el multiplicador no está restringido a ser un entero (aunque feo), hay muchas otras soluciones de este método. Por ejemplo, si un entero X se desplaza cíclicamente a la derecha una sola posición cuando se multiplica por 3 ⁄ 2 , entonces 3 será el siguiente resto después de 2 en una división larga de una fracción 2 ⁄ F . Esto deduce que F = 2 x 10 - 3 = 17, dando X como los dígitos repetidos de 2 ⁄ 17 , es decir, 1176470588235294, y su múltiplo es 1764705882352941.

A continuación se resumen algunos de los resultados encontrados de esta manera:

Desplazamiento cíclico hacia la izquierda mediante posiciones dobles

Un entero X se desplaza cíclicamente a la izquierda en posiciones dobles cuando se multiplica por un entero n . X es entonces los dígitos repetidos de 1 ⁄ F , donde F es R = 10 ² - n, o un factor de R ; excluyendo los valores de F para los cuales 1 ⁄ F tiene una longitud de período que divide a 2 (o, equivalentemente, menor que 3); y F debe ser coprimo con 10.

La mayoría de las veces es conveniente elegir la F más pequeña que se ajuste a lo anterior.

Resumen de resultados

A continuación se resumen algunos de los resultados obtenidos de esta manera, donde los espacios en blanco entre los dígitos dividen los dígitos en grupos de 10 dígitos:

Otras bases

En el sistema duodecimal , los números enteros transponibles son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)

Nótese que el problema de “Desplazamiento cíclico a la izquierda en una sola posición” no tiene solución para el multiplicador menor que 12 excepto 2 y 5, el mismo problema en el sistema decimal no tiene solución para el multiplicador menor que 10 excepto 3.

Notas

1. P. Yiu, k-enteros transponibles a la derecha, Cap.18.1 'Matemáticas recreativas'

Referencias

• P. Yiu, k-enteros transponibles a la derecha, k-enteros transponibles a la izquierda Cap.18.1, 18.2 pp. 168/360 en 'Recreational Mathematics', https://web.archive.org/web/20090901180500/http://math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
• CA Pickover , Maravillas de los números , Capítulo 28, Oxford University Press Reino Unido, 2000.
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A092697 (Para 1 <= n <= 9, a(n) = el menor número m tal que el producto n*m se obtiene simplemente desplazando el dígito más a la derecha de m al extremo izquierdo)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
• Gardner, Martin. El circo matemático: más acertijos, juegos, paradojas y otros entretenimientos matemáticos de Scientific American. Nueva York: The Mathematical Association of America, 1979. págs. 111–122.
• Kalman, Dan; 'Fracciones con patrones de dígitos cíclicos' The College Mathematics Journal, vol. 27, núm. 2. (marzo de 1996), págs. 109-115.
• Leslie, John. "La filosofía de la aritmética: una visión progresista de la teoría y la práctica de..." , Longman, Hurst, Rees, Orme y Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1 
• Wells, David; " El diccionario Penguin de números curiosos e interesantes " , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5