Recursión de Panjer

La recursión de Panjer es un algoritmo para calcular la aproximación de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria compuesta donde tanto y son variables aleatorias y de tipos especiales. En casos más generales, la distribución de S es una distribución compuesta . La recursión para los casos especiales considerados fue introducida en un artículo ^[1] por Harry Panjer (Profesor Emérito Distinguido, Universidad de Waterloo ^[2] ). Se utiliza ampliamente en la ciencia actuarial (véase también riesgo sistémico ). ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle X_{i}\,}$

Preliminares

Nos interesa la variable aleatoria compuesta donde y cumplen las siguientes condiciones previas. ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle X_{i}\,}$

Distribución del tamaño de las reclamaciones

Suponemos que son iid e independientes de . Además, deben distribuirse en una red con ancho de red . ${\displaystyle X_{i}\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle X_{i}\,}$ ${\displaystyle h\mathbb {N} _{0}\,}$ ${\displaystyle h>0\,}$

${\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].\,}$

En la práctica actuarial, se obtiene por discretización de la función de densidad de siniestros (superior, inferior...). ${\displaystyle X_{i}\,}$

Distribución del número de reclamaciones

El número de reclamaciones N es una variable aleatoria , que se dice que tiene una "distribución de número de reclamaciones", y que puede tomar los valores 0, 1, 2, .... etc. Para la "recursión de Panjer", la distribución de probabilidad de N tiene que ser un miembro de la clase Panjer , también conocida como la clase de distribuciones (a,b,0) . Esta clase consta de todas las variables aleatorias de conteo que cumplen la siguiente relación:

${\displaystyle P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\,}$

para algunos y que cumplen . El valor inicial se determina de tal manera que ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b\geq 0\,}$ ${\displaystyle p_{0}\,}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,}$

La recursión de Panjer hace uso de esta relación iterativa para especificar una forma recursiva de construir la distribución de probabilidad de S . A continuación se denota la función generadora de probabilidad de N : para esto, consulte la tabla en la clase de distribuciones (a,b,0) . ${\displaystyle W_{N}(x)\,}$

En caso de que se conozca el número de reclamación, tenga en cuenta el algoritmo De Pril . ^[3] Este algoritmo es adecuado para calcular la distribución de suma de variables aleatorias discretas . ^[4] ${\displaystyle n}$

Recursión

El algoritmo ahora proporciona una recursión para calcular el . ${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}$

El valor inicial está en los casos especiales. ${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}$

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ if }}\quad a=0,\,}$

y

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ for }}\quad a\neq 0,\,}$

y proceder con

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.\,}$

Ejemplo

El siguiente ejemplo muestra la densidad aproximada de donde y con ancho de red h = 0,04. (Ver distribución de Fréchet ). ${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)}$

Como se ha observado, puede surgir un problema en la inicialización de la recursión. Guégan y Hassani (2009) han propuesto una solución para abordar ese problema. ^[5]

Referencias

1. Panjer, Harry H. (1981). "Evaluación recursiva de una familia de distribuciones compuestas" (PDF) . Boletín ASTIN . 12 (1). Asociación Actuarial Internacional : 22–26. doi :10.1017/S0515036100006796. S2CID  15372040.
2. CV, actuaries.org; Página del personal, math.uwaterloo.ca
3. Wiki de riesgos de software de Vose: http://www.vosesoftware.com/riskwiki/Aggregatemodeling-DePrilsrecursivemethod.php
4. De Pril, N. (1988). "Aproximaciones mejoradas para la distribución de reclamaciones agregadas de una cartera de seguros de vida". Scandinavian Actuarial Journal . 1988 (1–3): 61–68. doi :10.1080/03461238.1988.10413837.
5. Guégan, D.; Hassani, BK (2009). "Un algoritmo de Panjer modificado para los cálculos de capital de riesgo operacional". Journal of Operational Risk . 4 (4): 53–72. CiteSeerX 10.1.1.413.5632 . doi :10.21314/JOP.2009.068. S2CID  4992848. 

Enlaces externos

• Recursión de Panjer y las distribuciones con las que se puede utilizar