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Pablo Poulet

Paul Poulet (1887-1946) fue un matemático belga autodidacta que realizó varias contribuciones importantes a la teoría de números , incluido el descubrimiento de los números sociables en 1918. También se lo recuerda por calcular los pseudoprimos en base dos , primero hasta 50 millones en 1926, luego hasta 100 millones en 1938. Estos ahora se denominan a menudo números de Poulet en su honor (también se conocen como números de Fermat o números de Sarrus). En 1925, publicó cuarenta y tres nuevos números multiperfectos , incluidos los dos primeros números octoperfectos conocidos. Sus logros son particularmente notables dado que trabajó sin la ayuda de computadoras y calculadoras modernas .

Carrera

Poulet publicó al menos dos libros sobre su trabajo matemático, Parfaits, amiables et extensions (1918) ( Números perfectos y amigables y sus extensiones ) y La chasse aux nombres (1929) ( La caza de los números ). Escribió este último en el pueblo francés de Lambres-lez-Aire en el Paso de Calais , a poca distancia al otro lado de la frontera con Bélgica . Ambos fueron publicados por éditions Stevens de Bruselas . [1]

Cadenas sociables

En una cadena sociable , o ciclo de alícuotas, una secuencia de sumas divisorias vuelve al número inicial. Éstas son las dos cadenas que Poulet describió en 1918:

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 → 12496 (5 enlaces)

14316 → 19116 → 31704 → 47616 → 83328 → 177792 → 295488 → 629072 → 589786 → 294896 → 358336 → 418904 → 366556 → 274924 → 275444 → 243760 → 376736 → 381028 → 285778 → 152990 → 122410 → 97946 → 48976 → 45946 → 22976 → 22744 → 19916 → 17716 → 14316 (28 enlaces)

La segunda cadena sigue siendo, con diferencia, la más larga que se conoce, a pesar de las exhaustivas búsquedas informáticas iniciadas por el matemático francés Henri Cohen en 1969. Poulet introdujo las cadenas sociables en un artículo [2] publicado en la revista L'Intermédiaire des Mathématiciens #25 (1918). El artículo decía así:

Si se considera un número entero a , la suma b de sus divisores propios, la suma c de los divisores propios de b , la suma d de los divisores propios de c , y así sucesivamente, se crea una sucesión que, continuada indefinidamente, puede desarrollarse de tres maneras:
Lo más frecuente es llegar a un número primo y luego a la unidad [es decir, 1]. La secuencia termina aquí.
Se llega a un número calculado previamente. La sucesión es indefinida y periódica. Si el período es uno, el número es perfecto . Si el período es dos, los números son amistosos . Pero el período puede ser mayor que dos, involucrando lo que llamaré, para mantener la misma terminología, números sociables. Por ejemplo, el número 12496 crea un período de cuatro términos, el número 14316 un período de 28 términos.
Por último, en algunos casos una secuencia crea números muy grandes que se vuelven imposibles de descomponer en divisores. Por ejemplo, el número 138.
Siendo así, pregunto:
Si es que ese tercer caso realmente existe o si, calculando lo suficiente, no necesariamente se terminaría en uno de los otros dos casos, como me veo obligado a creer.
Si se pueden encontrar cadenas sociables distintas de las anteriores, especialmente cadenas de tres términos. (Creo que no tendría sentido probar con números inferiores a 12000, porque ya los he probado todos).

El original francés [3] dice así:

Si l'on considère un nombre entier a , la somme b de ses Parties aliquotes, la somme c des Parties aliquotes de b , la somme d des Parties aliquotes de c et ainsi de suite, on obtient un développement qui, poussé indéfiniment, peut se presenta bajo tres aspectos diferentes:
Le plus souvent on finit par tomber sur un nombre premier, puis sur l'unité. El desarrollo está terminado.
On retrouve à un moment donné un nombre déjà recontré. El desarrollo es indefinido y periódico. Si el período n'a qu'un terme, ce terme est un nombre parfait. Si el período a dos términos, ces términos sont des nombres amiables. El período puede tener más de dos términos, para poder llamar, para guardar la misma terminología, los nombres sociales.
Por ejemplo, el nombre 12496 genera un período de 4 términos, el nombre 14316 tiene un período de 28 términos.
Enfin dans sures cas, al llegar à des nombres très grands qui rendent la calcul insupportable. Ejemplo: el nombre 138.
Eso es lo que pido:
Si este troisième cas existe real o si, para lograr un cálculo indefinido, no se resolverá necesariamente en uno o en el otro de los dos primeros ministros, como je suis porté à le croire.
Si l'on connait d'autres groupes sociables que ceux donnés plus haut, notament des groupes de tres termes. (Il est inutile, je pense, d'essayer les nombres inférieurs à 12000 que j'ai todos examinés.)

Referencias

  1. ^ "Paul Poulet". Serguéi Mehl . Consultado el 13 de agosto de 2013 .
  2. ^ "Números perfectos, amigables y sociables". David Moews . Consultado el 5 de agosto de 2013 .
  3. ^ "Números perfectos, amigables y sociables". David Moews . Consultado el 5 de agosto de 2013 .

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