El póquer Kuhn es una forma simplificada de póquer desarrollada por Harold W. Kuhn como un modelo simple de juego de suma cero con información imperfecta para dos jugadores , susceptible de un análisis completo de teoría de juegos . En el póquer Kuhn, la baraja incluye solo tres cartas , por ejemplo, un rey, una reina y una jota. Se reparte una carta a cada jugador, que puede realizar apuestas de manera similar a un póquer estándar. Si ambos jugadores apuestan o ambos jugadores pasan, el jugador con la carta más alta gana; de lo contrario, gana el jugador que apostó. Recientemente, Loriente y Diez (2023) lo resolvieron utilizando nociones de equilibrio bayesiano perfecto.
En términos de póquer convencionales , una partida de póquer Kuhn se desarrolla de la siguiente manera:
El juego tiene un equilibrio de Nash de estrategia mixta ; cuando ambos jugadores juegan estrategias de equilibrio, el primer jugador debería esperar perder a una tasa de −1/18 por mano (como el juego es de suma cero, el segundo jugador debería esperar ganar a una tasa de +1/18). No existe un equilibrio de estrategia pura .
Kuhn demostró que existen infinitas estrategias de equilibrio para el primer jugador, formando un continuo regido por un único parámetro. En una posible formulación, el jugador uno elige libremente la probabilidad con la que apostará cuando tenga una jota (en caso contrario, pasa; si el otro jugador apuesta, siempre debe retirarse). Cuando tenga un rey, debe apostar con una probabilidad de (en caso contrario, pasa; si el otro jugador apuesta, siempre debe igualar). Siempre debe pasar cuando tenga una reina, y si el otro jugador apuesta después de este paso, debe igualar con una probabilidad de .
El segundo jugador tiene una única estrategia de equilibrio: apostar o ver siempre cuando se tiene un Rey; cuando se tiene una Reina, pasar si es posible, de lo contrario ver con una probabilidad de 1/3; cuando se tiene una Jota, nunca ver y apostar con una probabilidad de 1/3.
Además de la versión básica inventada por Kuhn, aparecieron otras versiones añadiendo baraja más grande, más jugadores, rondas de apuestas, etc., aumentando la complejidad del juego.
En 2010, Nick Abou Risk y Duane Szafron introdujeron una variante para tres jugadores. En esta versión, la baraja incluye cuatro cartas (más una carta de diez), de las cuales se reparten tres a los jugadores; por lo demás, la estructura básica es la misma: mientras no haya ninguna apuesta pendiente, un jugador puede pasar o apostar; con una apuesta pendiente, un jugador puede igualar o retirarse. Si todos los jugadores pasan o al menos un jugador iguala, la partida pasa al showdown; en caso contrario, el jugador que apostó gana.
Se conoce analíticamente una familia de equilibrios de Nash para el póquer Kuhn de 3 jugadores, lo que lo convierte en el juego más grande con más de dos jugadores con solución analítica. [1] La familia está parametrizada utilizando 4-6 parámetros (dependiendo del equilibrio elegido). En todos los equilibrios, el jugador 1 tiene una estrategia fija y siempre pasa como primera acción; la utilidad del jugador 2 es constante, igual a -1/48 por mano. Los perfiles de equilibrio descubiertos muestran una característica interesante: al ajustar un parámetro de estrategia (entre 0 y 1), el jugador 2 puede cambiar libremente la utilidad entre los otros dos jugadores mientras permanece en equilibrio; la utilidad del jugador 1 es igual a (que siempre es peor que la utilidad del jugador 2), la utilidad del jugador 3 es .
No se sabe si esta familia de equilibrio cubre todos los equilibrios de Nash para el juego.
![{\displaystyle \alpha \en [0,1/3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a6970a54cb80fc5e4fc0ebace8d4f704952c0e)
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