Reducción de resolución (procesamiento de señales)

Método de remuestreo

En el procesamiento de señales digitales , reducción de resolución , compresión y diezmado son términos asociados con el proceso de remuestreo en un sistema de procesamiento de señales digitales de múltiples velocidades . Tanto la reducción de resolución como la reducción de resolución pueden ser sinónimos de compresión , o pueden describir un proceso completo de reducción del ancho de banda ( filtrado ) y reducción de la frecuencia de muestreo. ^{[1] [2]} Cuando el proceso se realiza sobre una secuencia de muestras de una señal o una función continua, produce una aproximación de la secuencia que se habría obtenido muestreando la señal a una velocidad (o densidad ) más baja , como en el caso de una fotografía).

Diezmado es un término que históricamente significa la eliminación de uno de cada diez . ^[a] Pero en el procesamiento de señales, diezmar por un factor de 10 en realidad significa conservar solo una de cada diez muestras. Este factor multiplica el intervalo de muestreo o, de manera equivalente, divide la frecuencia de muestreo. Por ejemplo, si el audio de un disco compacto a 44.100 muestras/segundo se diezma por un factor de 5/4, la frecuencia de muestreo resultante es 35.280. Un componente del sistema que realiza la diezmación se llama diezmador . La diezmado por un factor entero también se llama compresión . ^{[3] [4]}

Reducción de resolución por un factor entero

La reducción de la tasa por un factor entero M puede explicarse como un proceso de dos pasos, con una implementación equivalente que es más eficiente: ^[5]

1. Reduzca los componentes de la señal de alta frecuencia con un filtro de paso bajo digital .
2. Diezmar la señal filtrada por M ; es decir, conserve sólo cada mes ^muestra .

El paso 2 por sí solo crea un aliasing no deseado (es decir, los componentes de la señal de alta frecuencia se copiarán en la banda de frecuencia más baja y se confundirán con frecuencias más bajas). El paso 1, cuando sea necesario, suprime el alias a un nivel aceptable. En esta aplicación, el filtro se denomina filtro antialiasing y su diseño se analiza a continuación. Consulte también submuestreo para obtener información sobre cómo diezmar funciones y señales de paso de banda .

Cuando el filtro antialiasing es un diseño IIR , se basa en la retroalimentación de la salida a la entrada, antes del segundo paso. Con el filtrado FIR , es fácil calcular solo cada mes ^de salida. El cálculo realizado por un filtro FIR diezmante para la enésima muestra ^de salida es un producto escalar : ^[b]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}$

donde la secuencia h [•] es la respuesta al impulso y K es su longitud.  x [•] representa la secuencia de entrada que se está reduciendo. En un procesador de propósito general, después de calcular y [ n ], la forma más sencilla de calcular y [ n +1] es avanzar el índice inicial en la matriz x [•] en M y volver a calcular el producto escalar. En el caso M =2, h [•] puede diseñarse como un filtro de media banda , donde casi la mitad de los coeficientes son cero y no necesitan incluirse en los productos escalares.

Los coeficientes de respuesta al impulso tomados a intervalos de M forman una subsecuencia, y hay M de tales subsecuencias (fases) multiplexadas entre sí. El producto escalar es la suma de los productos escalar de cada subsecuencia con las muestras correspondientes de la secuencia x [•]. Además, debido a la reducción de resolución realizada por M , el flujo de x [•] muestras involucradas en cualquiera de los M productos escalares nunca está involucrado en los otros productos escalares. Por lo tanto, cada uno de los M filtros FIR de orden bajo filtra una de las M fases multiplexadas del flujo de entrada y las M salidas se suman. Este punto de vista ofrece una implementación diferente que podría resultar ventajosa en una arquitectura multiprocesador. En otras palabras, el flujo de entrada se demultiplexa y se envía a través de un banco de M filtros cuyas salidas se suman. Cuando se implementa de esa manera, se denomina filtro polifásico .

Para completar, ahora mencionamos que una implementación posible, pero poco probable, de cada fase es reemplazar los coeficientes de las otras fases con ceros en una copia de la matriz h [•], procesar la secuencia x [•] original en la entrada tasa (lo que significa multiplicar por ceros) y diezmar la producción por un factor de M . La equivalencia de este método ineficiente y la implementación descrita anteriormente se conoce como la primera identidad Noble . ^{[6] [c]} A veces se utiliza en derivaciones del método polifásico.

Fig 1: Estos gráficos representan las distribuciones espectrales de una función sobremuestreada y la misma función muestreada a 1/3 de la velocidad original. El ancho de banda, B, en este ejemplo es lo suficientemente pequeño como para que el muestreo más lento no provoque superposición (aliasing). A veces, una función muestreada se vuelve a muestrear a una velocidad más baja manteniendo solo cada muestra M ^y descartando las demás, lo que comúnmente se denomina "diezmado". El posible alias se evita mediante un filtrado de paso bajo de las muestras antes de diezmarlas. El ancho de banda máximo del filtro se tabula en las unidades de ancho de banda utilizadas por las aplicaciones de diseño de filtros comunes.

Filtro antiplegamiento

Sea X ( f ) la transformada de Fourier de cualquier función, x ( t ), cuyas muestras en algún intervalo, T , sean iguales a la secuencia x [ n ]. Entonces, la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) es una representación en serie de Fourier de una suma periódica de X ( f ): ^[d]

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}$

Cuando T tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . Reemplazar T con MT en las fórmulas anteriores da el DTFT de la secuencia diezmada, x [ nM ]: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}$

La suma periódica se ha reducido en amplitud y periodicidad por un factor de M. Un ejemplo de ambas distribuciones se muestra en las dos trazas de la figura 1. ^{[e] [f]} El alias se produce cuando copias adyacentes de X ( f ) se superponen. El objetivo del filtro antialiasing es garantizar que la periodicidad reducida no cree superposiciones. La condición que garantiza que las copias de X ( f ) no se superpongan entre sí es: entonces esa es la frecuencia de corte máxima de un filtro antialiasing ideal . ^[A] ${\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}$

Por un factor racional

Sea M/L el factor de diezmado, ^[B] donde: M, L ∈ ; M > L. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1. Incrementar (volver a muestrear) la secuencia en un factor de L . Esto se llama Upsampling o interpolación .
2. Diezmar por un factor de M

El paso 1 requiere un filtro de paso bajo después de aumentar ( expandir ) la velocidad de datos, y el paso 2 requiere un filtro de paso bajo antes de diezmar. Por lo tanto, ambas operaciones se pueden lograr con un solo filtro con la menor de las dos frecuencias de corte. Para el caso M  >  L , el corte del filtro antialiasing,  ciclos por muestra intermedia , es la frecuencia más baja. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}$

Ver también

• muestreo superior
• Posterización
• Conversión de frecuencia de muestreo
• alias
• Algoritmo de Visvalingam-Whyatt

Notas

1. Los filtros de paso bajo realizables tienen un "faldón", donde la respuesta disminuye de cerca de uno a cerca de cero. En la práctica, la frecuencia de corte se coloca lo suficientemente por debajo del corte teórico como para que el faldón del filtro quede por debajo del corte teórico.
2. Las técnicas generales para la conversión de frecuencia de muestreo por factor R ∈ incluyen la interpolación polinomial y la estructura de Farrow. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Citas de página

1. f.harris 2004. "6.1". pág.128.
2. Crochiére y Rabiner "2". pág. 32. ecuación 2.55a.
3. f.harris 2004. "2.2.1". pág.25.
4. Oppenheim y Schafer. "4.2". p 143. ecuación 4.6, donde :     y   ${\displaystyle \Omega \triangleq 2\pi f,}$  ${\displaystyle X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
5. f.harris 2004. "2.2". pág. 22. figura 2.10.
6. Oppenheim y Schafer. "4.6". pág. 171. figura 4.22.

Referencias

1. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W.; Dólar, John R. (1999). "4". Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 168.ISBN​ 0-13-754920-2.
2. Bronceado, Li (21 de abril de 2008). "Aumentar y reducir la resolución". eetimes.com . Tiempos EE.UU. Consultado el 10 de abril de 2017 . El proceso de reducir una frecuencia de muestreo en un factor entero se denomina reducción de resolución de una secuencia de datos. También nos referimos a la reducción de resolución como diezmado . El término diezmado utilizado para el proceso de reducción de resolución ha sido aceptado y utilizado en muchos libros de texto y campos.
3. Crochiére, RE; Rabiner, LR (1983). "2". Procesamiento de señales digitales multivelocidad. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. pag. 32.ISBN​ 0136051626.
4. Poularikas, Alexander D. (septiembre de 1998). Manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales (1 ed.). Prensa CRC. págs. 42–48. ISBN 0849385792.
5. Harris, Frederic J. (24 de mayo de 2004). "2.2". Procesamiento de señales multivelocidad para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall PTR. págs. 20-21. ISBN 0131465112. El proceso de muestreo descendente se puede visualizar como una progresión de dos pasos. El proceso comienza como una serie de entrada x(n) que es procesada por un filtro h(n) para obtener la secuencia de salida y(n) con ancho de banda reducido. Luego, la frecuencia de muestreo de la secuencia de salida se reduce de Q a 1 a una frecuencia proporcional al ancho de banda de señal reducido. En realidad, los procesos de reducción del ancho de banda y reducción de la frecuencia de muestreo se fusionan en un solo proceso llamado filtro multivelocidad.
6. Strang, Gilbert; Nguyen, Truong (1 de octubre de 1996). Wavelets y bancos de filtros (2 ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. págs. 100-101. ISBN 0961408871. Ningún ingeniero sensato haría eso.
7. Milić, Ljiljana (2009). Filtrado multivelocidad para procesamiento de señales digitales . Nueva York: Hershey. pag. 192.ISBN​ 978-1-60566-178-0. Generalmente, este enfoque es aplicable cuando la relación Fy/Fx es un número racional o irracional, y es adecuado para el aumento y la disminución de la frecuencia de muestreo.

Otras lecturas

• Proakis, John G. (2000). Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3ª ed.). India: Prentice-Hall. ISBN 8120311299.
• Lyons, Richard (2001). Comprensión del procesamiento de señales digitales . Prentice Hall. pag. 304.ISBN​ 0-201-63467-8. Disminuir la frecuencia de muestreo se conoce como diezmado.
• Antoniou, Andreas (2006). Procesamiento de señales digitales . McGraw-Hill. pag. 830.ISBN​ 0-07-145424-1. Se pueden usar diezmadores para reducir la frecuencia de muestreo, mientras que se pueden usar interpoladores para aumentarla.
• Milic, Ljiljana (2009). Filtrado multivelocidad para procesamiento de señales digitales . Nueva York: Hershey. pag. 35.ISBN​ 978-1-60566-178-0. Los sistemas de conversión de frecuencia de muestreo se utilizan para cambiar la frecuencia de muestreo de una señal. El proceso de disminución de la frecuencia de muestreo se llama diezmado y el proceso de aumento de la frecuencia de muestreo se llama interpolación.
• T. Schilcher. Aplicaciones de RF en el procesamiento de señales digitales//"Procesamiento de señales digitales". Actas, Escuela Aceleradora del CERN, Sigtuna, Suecia, 31 de mayo al 9 de junio de 2007. - Ginebra, Suiza: CERN (2008). - Pág. 258. - DOI: 10.5170/CERN-2008-003. [1]
• Sliusar II, Slyusar VI, Voloshko SV, Smolyar VG Acceso óptico de próxima generación basado en N-OFDM con diezmado.// Tercer Congreso Científico-Práctico Internacional "Problemas de las Infocomunicaciones. Ciencia y Tecnología (PIC S&T'2016)". – Járkov. - 3 al 6 de octubre de 2016. [2]
• Saska Lindfors, Aarno Pärssinen, Kari AI Halonen. Un submuestreador de diezmado CMOS de 3 V y 230 MHz.// Transacciones IEEE en circuitos y sistemas: vol. 52, núm. 2, febrero de 2005. – Pág. 110.