Teorema de isomorfismo de Ornstein

En matemáticas , el teorema de isomorfismo de Ornstein es un resultado profundo en la teoría ergódica . Afirma que si dos esquemas de Bernoulli tienen la misma entropía de Kolmogorov , entonces son isomorfos . ^{[1] [2]} El resultado, dado por Donald Ornstein en 1970, es importante porque afirma que muchos sistemas que anteriormente se creía que no estaban relacionados son de hecho isomorfos; estos incluyen todos los procesos estocásticos estacionarios finitos , incluidas las cadenas de Markov y los subdesplazamientos de tipo finito , los flujos de Anosov y los billares de Sinaí , los automorfismos ergódicos del n -toro y la transformada de fracción continua .

Discusión

El teorema es en realidad una colección de teoremas relacionados. El primer teorema establece que si dos desplazamientos de Bernoulli diferentes tienen la misma entropía de Kolmogorov , entonces son isomorfos como sistemas dinámicos . El tercer teorema extiende este resultado a los flujos : es decir, que existe un flujo tal que es un desplazamiento de Bernoulli. El cuarto teorema establece que, para una entropía fija dada, este flujo es único, hasta un reescalamiento constante del tiempo. El quinto teorema establece que hay un flujo único (hasta un reescalamiento constante del tiempo) que tiene entropía infinita. La frase "hasta un reescalamiento constante del tiempo" significa simplemente que si y son dos flujos de Bernoulli con la misma entropía, entonces para alguna constante c . Los desarrollos también incluyeron pruebas de que los factores de los desplazamientos de Bernoulli son isomorfos a los desplazamientos de Bernoulli, y dieron criterios para que un sistema dinámico preservador de la medida dado sea isomorfo a un desplazamiento de Bernoulli. ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}=T_{ct}}$

Un corolario de estos resultados es una solución al problema de raíz de los desplazamientos de Bernoulli: así, por ejemplo, dado un desplazamiento T , hay otro desplazamiento que es isomorfo a él. ${\displaystyle {\sqrt {T}}}$

Historia

La cuestión del isomorfismo se remonta a von Neumann , quien preguntó si los dos esquemas de Bernoulli BS(1/2, 1/2) y BS(1/3, 1/3, 1/3) eran isomorfos o no. En 1959, Ya. Sinai y Kolmogorov respondieron negativamente, demostrando que dos esquemas diferentes no pueden ser isomorfos si no tienen la misma entropía. En concreto, demostraron que la entropía de un esquema de Bernoulli BS( p ₁ , p ₂ ,..., p _n ) viene dada por ^{[3] [4]}

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}$

El teorema de isomorfismo de Ornstein, demostrado por Donald Ornstein en 1970, establece que dos esquemas de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos . El resultado es contundente ^[5] , en el sentido de que sistemas muy similares, que no son esquemas, no tienen esta propiedad; en concreto, existen sistemas de Kolmogorov con la misma entropía que no son isomorfos. Ornstein recibió el premio Bôcher por este trabajo.

Michael S. Keane y M. Smorodinsky dieron una prueba simplificada del teorema de isomorfismo para esquemas simbólicos de Bernoulli en 1979. ^{[6] [7]}

Referencias

1. Ornstein, Donald (1970). "Los desplazamientos de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos". Avances en Matemáticas . 4 (3): 337–352. doi :10.1016/0001-8708(70)90029-0.
2. Donald Ornstein, "Teoría ergódica, aleatoriedad y sistemas dinámicos" (1974) Yale University Press, ISBN 0-300-01745-6 
3. Ya.G. Sinai, (1959) "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico", Doklady de la Academia Rusa de Ciencias 124 , págs. 768–771.
4. Ya. G. Sinai, (2007) "Entropía métrica de un sistema dinámico"
5. Christopher Hoffman, "Máquina de contraejemplos AK", Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), págs. 4263–4280
6. M. Keane y M. Smorodinsky, "El teorema del isomorfismo finitario para los desplazamientos de Markov", Bull. Amer. Math. Soc. 1 (1979), págs. 436–438
7. M. Keane y M. Smorodinsky, "Los esquemas de Bernoulli de la misma entropía son finitariamente isomorfos". Annals of Mathematics (2) 109 (1979), pp 397–406.

Lectura adicional

• Steven Kalikow, Randall McCutcheon (2010) Esquema de la teoría ergódica , Cambridge University Press
• Donald Ornstein (2001) [1994], "Teorema de isomorfismo de Ornstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Donald Ornstein (2008), "Teoría de Ornstein" Scholarpedia, 3 (3):3957.
• Daniel J. Rudolph (1990) Fundamentos de dinámica medible: teoría ergódica en espacios de Lebesgue , Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press , Nueva York, 1990. ISBN 0-19-853572-4