En matemáticas aplicadas, específicamente en lógica difusa , los operadores de promedio ponderado ordenado (OWA) proporcionan una clase parametrizada de operadores de agregación de tipo medio. Fueron presentados por Ronald R. Yager . [1] [2]
Muchos operadores medios notables, como el máximo, la media aritmética , la mediana y el mínimo, son miembros de esta clase. Se han utilizado ampliamente en inteligencia computacional debido a su capacidad para modelar instrucciones de agregación expresadas lingüísticamente.
Definición
Un operador de dimensión OWA es un mapeo que tiene una colección asociada de pesos que se encuentran en el intervalo unitario y que suman uno y con ![{\displaystyle\n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ W=[w_{1},\ldots,w_{n}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿ Dónde está el jésimo más grande de ?![{\ Displaystyle b_ {j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Al elegir diferentes W se pueden implementar diferentes operadores de agregación. El operador OWA es un operador no lineal como resultado del proceso de determinación de b j .
Operadores OWA notables
si y para![{\displaystyle \w_{1}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \w_{j}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j\neq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
si y para![{\displaystyle \w_{n}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \w_{j}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j\neq n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
si por todos![{\displaystyle \ w_{j}={\frac {1}{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j\en [1,n]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
El operador OWA es un operador medio. Es acotado , monótono , simétrico e idempotente , como se define a continuación.
Rasgos característicos
Se han utilizado dos características para caracterizar a los operadores de OWA. El primero es el carácter actitudinal, también llamado orness . [1] Esto se define como
![{\displaystyle AC(W)={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n}(nj)w_{j}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se sabe que .![{\displaystyle CA(W)\en [0,1]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además A − C (max) = 1, A − C(ave) = A − C(med) = 0,5 y A − C(min) = 0. Así, A − C va de 1 a 0 a medida que pasamos de Agregación máxima a mínima. El carácter actitudinal caracteriza la similitud de la agregación con la operación OR (OR se define como Max).
La segunda característica es la dispersión. Esto se define como
![{\displaystyle H(W)=-\sum _{j=1}^{n}w_{j}\ln(w_{j}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una definición alternativa es La dispersión caracteriza la uniformidad con la que se utilizan los argumentos.![{\displaystyle E(W)=\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Operadores de agregación OWA tipo 1
Los operadores OWA de Yager anteriores se utilizan para agregar los valores nítidos. ¿Podemos agregar conjuntos difusos en el mecanismo OWA? Para ello se han propuesto los operadores OWA Tipo 1 . [3] [4]
Entonces, los operadores OWA tipo 1 nos brindan una nueva técnica para agregar directamente información incierta con pesos inciertos a través del mecanismo OWA en la toma de decisiones suaves y la minería de datos, donde estos objetos inciertos se modelan mediante conjuntos difusos.
El operador OWA tipo 1 se define según los cortes alfa de conjuntos difusos de la siguiente manera:
Dados los n pesos lingüísticos en forma de conjuntos difusos definidos en el dominio del discurso , entonces, para cada uno , un operador OWA de nivel 1 con conjuntos de nivel para agregar los cortes de conjuntos difusos se da como![{\displaystyle \left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U=[0,\;\;1]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha \en [0,\;1]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{{W_{\alpha }^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{{A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac { \sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}} }}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1, \ldots ,n}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde , y es una función de permutación tal que , es decir, es el elemento más grande del conjunto .![{\displaystyle W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha }^{i}=\{x| \mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma :\{\;1,\ldots ,n\;\}\to \{\;1,\ldots ,n\;\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\ldots ,n-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{\sigma (i)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{{a_{1},\ldots,a_{n}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El cálculo de la salida OWA tipo 1 se implementa calculando los puntos finales izquierdo y derecho de los intervalos : y
donde . Entonces la función de pertenencia del conjunto difuso de agregación resultante es:![{\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{\alpha }^{i}=[A_{\alpha -}^{i},A_{\alpha +}^{i}],W_{\alpha }^{i}=[W_{ \alpha -}^{i},W_{\alpha +}^{i}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu _{G}(x)=\mathop {\vee } _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para los puntos finales izquierdos, necesitamos resolver el siguiente problema de programación:
![{\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}=\min \limits _ {\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_ {i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\ suma \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
mientras que para los puntos finales correctos, necesitamos resolver el siguiente problema de programación:
![{\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+}=\max \limits _ {\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_ {i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\ suma \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este artículo [5] ha presentado un método rápido para resolver dos problemas de programación de modo que la operación de agregación OWA tipo 1 se pueda realizar de manera eficiente.
OWA para la votación del comité
Amanatidis, Barrot, Lang, Markakis y Ries [6] presentan reglas de votación para la votación multitema , basadas en OWA y la distancia de Hamming . Barrot, Lang y Yokoo [7] estudian la manipulabilidad de estas reglas.
Referencias
- ^ ab Yager, RR, "Sobre operadores de agregación de promedios ponderados ordenados en la toma de decisiones con criterios múltiples", IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics 18, 183-190, 1988.
- ^ * Yager, RR y Kacprzyk, J., Los operadores de promedio ponderado ordenado: teoría y aplicaciones, Kluwer: Norwell, MA, 1997.
- ^
S.-M. Zhou, F. Chiclana, RI John y JM Garibaldi, "Operadores OWA de tipo 1 para agregar información incierta con pesos inciertos inducidos por cuantificadores lingüísticos de tipo 2", Fuzzy Sets and Systems, Vol.159, No.24, págs. 3281 –3296, 2008 [1]
- ^ S.-M. Zhou, RI John, F. Chiclana y JM Garibaldi, "Sobre la agregación de información incierta mediante operadores OWA tipo 2 para la toma de decisiones suaves", Revista Internacional de Sistemas Inteligentes. vol. 25, núm. 6, págs. 540–558, 2010.[2]
- ^ S.-M. Zhou, F. Chiclana, RI John y JM Garibaldi, "Agregación de nivel alfa: un enfoque práctico para la operación OWA tipo 1 para agregar información incierta con aplicaciones a tratamientos de cáncer de mama", IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, vol. 23, no.10, 2011, págs. 1455-1468.[3]
- ^ Amanatidis, Georgios; Barrot, Natanaël; Lang, Jérôme; Markakis, Evangelos; Ries, Bernard (4 de mayo de 2015). "Múltiples referendos y elecciones con múltiples ganadores utilizando distancias de Hamming: complejidad y manipulabilidad". Actas de la Conferencia Internacional de 2015 sobre Agentes Autónomos y Sistemas Multiagente . AAMAS '15. Richland, SC: Fundación Internacional para Agentes Autónomos y Sistemas Multiagentes: 715–723. ISBN 978-1-4503-3413-6.
- ^ Barrot, Natanaël; Lang, Jérôme; Yokoo, Makoto (8 de mayo de 2017). "Manipulación de la votación de aprobación basada en Hamming para referendos múltiples y elecciones de comités". Actas de la XVI Conferencia sobre Agentes Autónomos y Sistemas MultiAgente . AAMAS '17. Richland, SC: Fundación Internacional para Agentes Autónomos y Sistemas Multiagentes: 597–605.
- Liu, X., "La equivalencia de la solución de los problemas de disparidad minimax y varianza mínima para operadores OWA", International Journal of Approximate Reasoning 45, 68–81, 2007.
- Torra, V. y Narukawa, Y., Decisiones de modelado: operadores de agregación y fusión de información, Springer: Berlín, 2007.
- Majlender, P., "Operadores OWA con entropía Rényi máxima", Fuzzy Sets and Systems 155, 340–360, 2005.
- Szekely, GJ y Buczolich, Z., "¿Cuándo es un promedio ponderado de elementos muestrales ordenados un estimador de máxima verosimilitud del parámetro de ubicación?" Avances en Matemáticas Aplicadas 10, 1989, 439–456.