stringtranslate.com

Operación binaria

Una operación binaria es una regla para combinar los argumentos y producir

En matemáticas , una operación binaria u operación diádica es una regla para combinar dos elementos (llamados operandos ) para producir otro elemento. Más formalmente, una operación binaria es una operación de aridad dos.

Más específicamente, una operación binaria sobre un conjunto es una función binaria cuyos dos dominios y el codominio son el mismo conjunto. Algunos ejemplos son las conocidas operaciones aritméticas de suma , resta y multiplicación . Otros ejemplos se encuentran fácilmente en diferentes áreas de las matemáticas, como la suma de vectores , la multiplicación de matrices y la conjugación en grupos .

Una función binaria que involucra varios conjuntos a veces también se denomina operación binaria . Por ejemplo, la multiplicación escalar de espacios vectoriales toma un escalar y un vector para producir un vector, y el producto escalar toma dos vectores para producir un escalar.

Las operaciones binarias son la piedra angular de la mayoría de las estructuras que se estudian en álgebra , en particular en semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos y espacios vectoriales .

Terminología

Más precisamente, una operación binaria sobre un conjunto es una aplicación de los elementos del producto cartesiano a : [1] [2] [3]

La propiedad de cierre de una operación binaria expresa la existencia de un resultado para la operación dado cualquier par de operandos. [4]

Si no es una función sino una función parcial , entonces se denomina operación binaria parcial . Por ejemplo, la división de números reales es una operación binaria parcial, porque no se puede dividir por cero : no está definida para ningún número real . Tanto en la teoría de modelos como en el álgebra universal clásica , se requiere que las operaciones binarias estén definidas en todos los elementos de . Sin embargo, las álgebras parciales [5] generalizan las álgebras universales para permitir operaciones parciales.

A veces, especialmente en informática , se utiliza el término operación binaria para cualquier función binaria .

Propiedades y ejemplos

Ejemplos típicos de operaciones binarias son la suma ( ) y la multiplicación ( ) de números y matrices , así como la composición de funciones en un único conjunto. Por ejemplo,

Muchas operaciones binarias de interés tanto en álgebra como en lógica formal son conmutativas , que satisfacen para todos los elementos y en , o asociativas , que satisfacen para todos los , , y en . Muchas también tienen elementos identidad y elementos inversos .

Los primeros tres ejemplos anteriores son conmutativos y todos los ejemplos anteriores son asociativos.

En el conjunto de los números reales , la resta , es decir, , es una operación binaria que no es conmutativa ya que, en general, . Tampoco es asociativa, ya que, en general, ; por ejemplo, pero .

En el conjunto de los números naturales , la operación binaria exponenciación , , no es conmutativa ya que, (cf. Ecuación x y = y x ), y tampoco es asociativa ya que . Por ejemplo, con , , y , , pero . Al cambiar el conjunto al conjunto de los enteros , esta operación binaria se convierte en una operación binaria parcial ya que ahora no está definida cuando y es cualquier entero negativo. Para cualquier conjunto, esta operación tiene una identidad derecha (que es ) ya que para todos en el conjunto, que no es una identidad (identidad bilateral) ya que en general.

La división ( ), operación binaria parcial sobre el conjunto de números reales o racionales, no es conmutativa ni asociativa. La tetración ( ), como operación binaria sobre los números naturales, no es conmutativa ni asociativa y no tiene elemento identidad.

Notación

Las operaciones binarias suelen escribirse utilizando notación infija como , , o (por yuxtaposición sin símbolo) en lugar de la notación funcional de la forma . Las potencias también suelen escribirse sin operador, pero con el segundo argumento como superíndice .

Las operaciones binarias se escriben a veces utilizando notación de prefijo o (más frecuentemente) de posfijo, en las que se prescinde de los paréntesis. También se denominan, respectivamente, notación polaca y notación polaca inversa .

Operaciones binarias como relaciones ternarias

Una operación binaria sobre un conjunto puede verse como una relación ternaria sobre , es decir, el conjunto de tripletas en para todos y en .

Otras operaciones binarias

Por ejemplo, la multiplicación escalar en álgebra lineal . Aquí hay un campo y es un espacio vectorial sobre ese campo.

Además, el producto escalar de dos vectores se asigna a , donde es un cuerpo y es un espacio vectorial sobre . Depende de los autores si se considera una operación binaria.

Véase también

Notas

  1. ^ Rotman 1973, pág. 1
  2. ^ Hardy & Walker 2002, pág. 176, Definición 67
  3. ^ Fraleigh 1976, pág. 10
  4. ^ Hall 1959, pág. 1
  5. ^ George A. Grätzer (2008). Álgebra universal (2.ª ed.). Springer Science & Business Media. Capítulo 2. Álgebras parciales. ISBN 978-0-387-77487-9.

Referencias

Enlaces externos