Base casi coiflet biortogonal

En matemáticas aplicadas , las bases de ondículas biortogonales casi coiflet son bases de ondículas propuestas por Lowell L. Winger. La ondícula se basa en bases de ondículas de coiflet biortogonales , pero sacrifica su regularidad para aumentar el ancho de banda del filtro , lo que podría conducir a un mejor rendimiento de compresión de imágenes .

Motivación

En la actualidad, se almacena, procesa y entrega una gran cantidad de información, por lo que el método de compresión de datos, especialmente para imágenes, adquiere mayor importancia. Dado que las transformadas wavelet pueden manejar señales tanto en el dominio espacial como en el de frecuencia, compensan la deficiencia de las transformadas de Fourier y surgieron como una técnica potencial para el procesamiento de imágenes. ^[1]

El diseño tradicional de filtros wavelet prefiere filtros con alta regularidad y suavidad para realizar la compresión de imágenes . ^[2] Los coiflets son un tipo de filtro que enfatiza los momentos de desaparición tanto de la función wavelet como de la de escala , y se pueden lograr maximizando el número total de momentos de desaparición y distribuyéndolos entre los filtros de paso bajo de análisis y síntesis . La propiedad de los momentos de desaparición permite que la serie wavelet de la señal sea una presentación dispersa , que es la razón por la que los wavelets se pueden aplicar para la compresión de imágenes . ^[3] Además de los bancos de filtros ortogonales , también se han propuesto wavelets biortogonales con momentos de desaparición maximizados. ^[4] Sin embargo, la regularidad y la suavidad no son suficientes para una excelente compresión de imágenes. ^[5] Los bancos de filtros comunes prefieren filtros con alta regularidad, bandas de paso y bandas de supresión planas y una zona de transición estrecha, mientras que Pixstream Incorporated propuso filtros con banda de paso más amplia sacrificando su regularidad y planitud de banda de paso. ^[5]

Teoría

La base de wavelet biortogonal contiene dos funciones wavelet y su pareja wavelet , mientras que se relaciona con el filtro de análisis de paso bajo y el filtro de análisis de paso alto . De manera similar, se relaciona con el filtro de síntesis de paso bajo y el filtro de síntesis de paso alto . Para la base de wavelet biortogonal, y son ortogonales; Asimismo, y también son ortogonales. ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle H0}$ ${\displaystyle G0}$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}0}$ ${\displaystyle {\tilde {G0}}}$ ${\displaystyle H0}$ ${\displaystyle {\tilde {G0}}}$ ${\displaystyle G0}$ ${\displaystyle {\tilde {H0}}}$

Para construir una base de coiflet biortogonal casi plana, Pixstream Incorporated comienza con la base de coiflet biortogonal (máxima plana). ^[5] La descomposición y reconstrucción de filtros de paso bajo expresados ​​por polinomios de Bernstein garantiza que los coeficientes de los filtros sean simétricos, lo que beneficia el procesamiento de imágenes: si la fase de una función de valor real es simétrica, entonces la función tiene una fase lineal generalizada y, dado que los ojos humanos son sensibles al error simétrico, la base de ondículas con fase lineal es mejor para la aplicación de procesamiento de imágenes. ^[1]

Recordemos que los polinomios de Bernstein se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle B_{k}^{n}(x)=(_{k}^{n})x^{k}(1-x)^{n-k}{\text{ for }}k=1,2,\ldots ,n,}$

que puede considerarse como un polinomio f(x) en el intervalo . ^[6] Además, la forma de Bernstein de un polinomio general se expresa mediante ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle H1(x)=\sum _{k=0}^{n}d(k)(_{k}^{n})x^{k}(1-x)^{n-k},}$

donde d ( i ) son los coeficientes de Bernstein. Nótese que el número de ceros en los coeficientes de Bernstein determina los momentos de desaparición de las funciones wavelet. ^[7] Al sacrificar un cero del filtro de base de Bernstein en (lo que sacrifica su regularidad y planitud), el filtro ya no es coiflet sino casi coiflet . ^[5] Luego, se aumenta la magnitud del coeficiente de base de Bernstein distinto de cero de orden más alto, lo que conduce a una banda de paso más amplia . Por otro lado, para realizar la compresión y reconstrucción de imágenes, los filtros de análisis se determinan mediante filtros de síntesis. Dado que el filtro diseñado tiene una regularidad menor, una peor planitud y una banda de paso más amplia, el filtro de paso bajo dual resultante tiene una regularidad mayor, una mejor planitud y una banda de paso más estrecha. Además, si la banda de paso del coiflet biortogonal inicial es más estrecha que el filtro de síntesis objetivo G0, entonces su banda de paso se ensancha solo lo suficiente para que coincida con G0 con el fin de minimizar el impacto en la suavidad (es decir, el filtro de análisis H0 no es invariablemente el filtro de diseño). De manera similar, si el filtro original es más ancho que el objetivo G0, entonces la banda de paso del filtro original se ajusta para que coincida con el filtro de análisis H0. Por lo tanto, los filtros de análisis y síntesis tienen un ancho de banda similar. ${\displaystyle \omega =\pi }$

El efecto de zumbido ( sobreimpulso y subimpulso) y la varianza de desplazamiento de la compresión de imagen se pueden aliviar equilibrando la banda de paso de los filtros de análisis y síntesis. En otras palabras, los filtros más suaves o de mayor regularidad no siempre son las mejores opciones para los filtros de paso bajo de síntesis.

Inconveniente

La idea de este método es obtener más parámetros libres eliminando algunos elementos que desaparecen. Sin embargo, esta técnica no puede unificar bancos de filtros wavelet biortogonales con diferentes derivaciones en una expresión de forma cerrada basada en un grado de libertad . ^[8]

Referencias

1. Ke, Li. "La correlación entre las propiedades de la base wavelet y la compresión de imágenes". Talleres de la Conferencia Internacional sobre Inteligencia Computacional y Seguridad de 2007 .
2. Villasenor, John (agosto de 1995). "Evaluación de filtros wavelet para compresión de imágenes". IEEE Transactions on Image Processing . 4 (8): 1053–60. Bibcode :1995ITIP....4.1053V. CiteSeerX 10.1.1.467.5894 . doi :10.1109/83.403412. PMID  18291999. 
3. Wei, Dong (1998). Ondículas de tipo Coiflet: teoría, diseño y aplicaciones (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Texas en Austin. MR  2698147.
4. Tian, ​​J (1997). "Sistemas Wavelet de Coifman: aproximación, suavidad y algoritmos computacionales". En M. Bristeau (ed.). Ciencia computacional para el siglo XXI . Nueva York: Wiley. págs. 831–840.
5. L. Winger, Lowell (2001). "Ondículas biortogonales casi de Coiflet para compresión de imágenes". Procesamiento de señales: comunicación de imágenes . 16 (9): 859–869. doi :10.1016/S0923-5965(00)00047-3.
6. "La base de Bernstein" (PDF) . Curvas pitagóricas-hodógrafas: álgebra y geometría inseparables . Geometría y computación. Vol. 1. 2008. págs. 249–260. doi :10.1007/978-3-540-73398-0_11. ISBN 978-3-540-73397-3.
7. Yang, X (enero de 2011). "Marco general de la construcción de wavelets biortogonales basados ​​en bases de Bernstein: análisis teórico y aplicación en la compresión de imágenes". IET Computer Vision . 5 (1): 50–67. doi :10.1049/iet-cvi.2009.0083.
8. Liu, Zaide (2007). "Construcción de parametrización de bancos de filtros wavelet biortogonales para codificación de imágenes". Procesamiento de señales, imágenes y vídeo . 1 : 63–76. doi :10.1007/s11760-007-0001-z. S2CID  46301605.