Observabilidad Gramiana

En la teoría del control , es posible que necesitemos averiguar si un sistema como

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}}$

es observable, donde , , y son, respectivamente, las matrices , y . ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle q\times n}$ ${\displaystyle q\times p}$

Una de las muchas maneras de lograr tal objetivo es mediante el uso del Gramiano de Observabilidad.

Observabilidad en sistemas LTI

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) son aquellos sistemas en los que los parámetros , , y son invariantes con respecto al tiempo. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$

Se puede determinar si el sistema LTI es observable o no simplemente observando el par . Entonces, podemos decir que las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

1. El par es observable. ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

2. La matriz ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

no es singular para ningún . ${\displaystyle t>0}$

3. La matriz de observabilidad ${\displaystyle nq\times n}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {C}}\\{\boldsymbol {CA}}\\{\boldsymbol {CA}}^{2}\\\vdots \\{\boldsymbol {CA}}^{n-1}\end{array}}\right]}$

tiene rango n.

4. La matriz ${\displaystyle (n+q)\times n}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}\\{\boldsymbol {C}}\end{array}}\right]}$

tiene rango de columna completo en cada valor propio de . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

Si, además, todos los valores propios de tienen partes reales negativas ( es estable) y la solución única de ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

es definida positiva, entonces el sistema es observable. La solución se llama Gramiano de Observabilidad y puede expresarse como

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

En la siguiente sección vamos a analizar más de cerca el Observability Gramian.

Observabilidad Gramiana

La Observabilidad Gramiana se puede encontrar como la solución de la ecuación de Lyapunov dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

De hecho, podemos ver que si tomamos

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

Como solución vamos a encontrar que:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A^{T}}}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {A}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {C^{T}C}}\\&=&{\boldsymbol {-C^{T}C}}\end{array}}}$

Donde usamos el hecho de que at es estable (todos sus valores propios tienen parte real negativa). Esto nos muestra que es efectivamente la solución para la ecuación de Lyapunov bajo análisis. ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$ ${\displaystyle t=\infty }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

Propiedades

Podemos ver que es una matriz simétrica, por lo tanto, también lo es . ${\displaystyle {\boldsymbol {C^{T}C}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

Podemos utilizar de nuevo el hecho de que si es estable (todos sus valores propios tienen parte real negativa) para demostrar que es única. Para demostrarlo, supongamos que tenemos dos soluciones diferentes para ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

y están dados por y . Entonces tenemos: ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o2}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$

Multiplicando por la izquierda y por la derecha, nos llevaría a ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}$

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}]e^{{\boldsymbol {A}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]={\boldsymbol {0}}}$

Integrando de a : ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle [e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}$

utilizando el hecho de que como : ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})={\boldsymbol {0}}}$

En otras palabras, tiene que ser único. ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

También podemos ver que

${\displaystyle {\boldsymbol {x^{T}W_{o}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$

es positivo para cualquier (asumiendo el caso no degenerado donde no es idénticamente cero), y eso forma una matriz definida positiva. ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

Se pueden encontrar más propiedades de los sistemas observables en ^[1], así como la prueba de otras afirmaciones equivalentes de "El par es observable" presentadas en la sección Observabilidad en sistemas LTI. ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

Sistemas de tiempo discreto

Para sistemas de tiempo discreto como

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}$

Se puede comprobar que existen equivalencias para la afirmación "El par es observable" (las equivalencias son muy parecidas para el caso de tiempo continuo). ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

Nos interesa la equivalencia que afirma que, si "El par es observable" y todos los valores propios de tienen magnitud menor que ( es estable), entonces la solución única de ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{do}{\boldsymbol {A}}-W_{do}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

es definida positiva y está dada por

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{do}=\sum _{m=0}^{\infty }({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {A}}^{m}}$

Esto se llama el Gramiano de Observabilidad Discreta. Podemos ver fácilmente la correspondencia entre el tiempo discreto y el caso del tiempo continuo, es decir, si podemos comprobar que es definida positiva y todos los valores propios de tienen magnitud menor que , el sistema es observable. Se pueden encontrar más propiedades y pruebas en ^{[2] .} ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

Sistemas lineales variantes en el tiempo

Los sistemas variantes en el tiempo lineal (LTV) son aquellos que tienen la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}$

Es decir, las matrices , y tienen entradas que varían con el tiempo. Nuevamente, tanto en el caso de tiempo continuo como en el de tiempo discreto, puede interesarle descubrir si el sistema dado por el par es observable o no. Esto se puede hacer de una manera muy similar a los casos anteriores. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))}$

El sistema es observable en el tiempo si y sólo si existe un finito tal que la matriz también llamada Gramiana de Observabilidad está dada por ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{^{t_{1}}}{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(\tau ,t_{0}){\boldsymbol {C}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {C}}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})d\tau }$

donde es la matriz de transición de estados de no es singular. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$

Nuevamente tenemos un método similar para determinar si un sistema es o no un sistema observable.

Propiedades de W o ( t 0 , t 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}

Tenemos que los Gramianos de Observabilidad tienen la siguiente propiedad: ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t)+{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t,t_{0}){\boldsymbol {W}}_{o}(t,t_{0}){\boldsymbol {\Phi }}(t,t_{0})}$

Esto se puede ver fácilmente mediante la definición y la propiedad de la matriz de transición de estados que afirma que: ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})}$

Se puede encontrar más información sobre el Observability Gramian en. ^[3]

Véase también

• Observabilidad
• Controlabilidad Gramian
• Matriz gramiana
• Valor singular de Hankel

Referencias

1. Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales, tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. pág. 156. ISBN 0-19-511777-8.
2. Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales, tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. pág. 171. ISBN 0-19-511777-8.
3. Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales, tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. pág. 179. ISBN 0-19-511777-8.

Enlaces externos

• Función de Mathematica para calcular la observabilidad de Gramian