Notación de barra de Feynman

Notación para contracciones con matrices gamma

En el estudio de los campos de Dirac en la teoría cuántica de campos , Richard Feynman inventó la conveniente notación de barra de Feynman (menos conocida como notación de barra de Dirac ^[1] ). Si A es un vector covariante (es decir, una forma 1 ),

${\displaystyle {A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{0}A_{0}+\gamma ^{1}A_{1}+\gamma ^{2}A_{2}+\gamma ^{3}A_{3}}$

donde γ son las matrices gamma . Utilizando la notación de suma de Einstein , la expresión es simplemente

${\displaystyle {A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }}$.

Identidades

Utilizando los anticonmutadores de las matrices gamma, se puede demostrar que para cualquier y , ${\displaystyle a_{\mu }}$ ${\displaystyle b_{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^{2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}+{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}=2a\cdot b\cdot I_{4}.\end{aligned}}}$

¿Dónde está la matriz identidad en cuatro dimensiones? ${\displaystyle I_{4}}$

En particular,

${\displaystyle {\partial \!\!\!/}^{2}=\partial ^{2}\cdot I_{4}.}$

Se pueden leer más identidades directamente a partir de las identidades de la matriz gamma reemplazando el tensor métrico con productos internos . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=2({d\!\!\!/}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}+{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}{d\!\!\!/})\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=4a\cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{\gamma ^{\mu }}{b\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }(a\cdot b)\right]\\\operatorname {tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&=4i\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{\mu }}{a\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=0\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{5}}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=0\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{0}}({a\!\!\!/}+m){\gamma ^{0}}({b\!\!\!/}+m))&=8a^{0}b^{0}-4(a.b)+4m^{2}\\\operatorname {tr} (({a\!\!\!/}+m){\gamma ^{\mu }}({b\!\!\!/}+m){\gamma ^{\nu }})&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }((a\cdot b)-m^{2})\right]\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n})&=\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{2n}...{a\!\!\!/}_{1})\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n+1})&=0\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }}$es el símbolo de Levi-Civita
• ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$¿Es la métrica de Minkowski?
• ${\displaystyle m}$es un escalar.

Con cuatro impulsos

En esta sección se utiliza la signatura métrica (+ − − −) . A menudo, cuando se utiliza la ecuación de Dirac y se resuelven las secciones transversales, se encuentra la notación de barra utilizada en cuatro momentos : utilizando la base de Dirac para las matrices gamma,

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}$

así como la definición de cuadrimpulso contravariante en unidades naturales ,

${\displaystyle p^{\mu }=\left(E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,}$

Vemos explícitamente que

${\displaystyle {\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p^{0}-\gamma ^{i}p^{i}\\&={\begin{bmatrix}p^{0}&0\\0&-p^{0}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p^{i}\\-\sigma ^{i}p^{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Se obtienen resultados similares en otras bases, como la base de Weyl .

Véase también

• Base de Weyl
• Matrices gamma
• Cuatro vectores
• Matriz S

Referencias

1. Weinberg, Steven (1995), La teoría cuántica de campos, vol. 1, Cambridge University Press, pág. 358 (380 en la edición polaca), ISBN 0-521-55001-7

• Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks y leptones: un curso introductorio a la física de partículas moderna . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.