Notación de Van der Waerden

Notación utilizada para los espinores de Weyl

En física teórica , la notación de Van der Waerden ^{[1] [2]} se refiere al uso de espinores de dos componentes ( espinores de Weyl ) en cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Esto es estándar en la teoría de twistores y la supersimetría . Recibe su nombre en honor a Bartel Leendert van der Waerden .

Índices punteados

Índices sin puntos (índices quirales)

Los espinores con índices inferiores sin puntos tienen una quiralidad zurda y se denominan índices quirales.

${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {left} }={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}}$

Índices punteados (índices antiquirales)

Los espinores con índices punteados en relieve, más una barra sobre el símbolo (no el índice), son diestros y se denominan índices antiquirales.

${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {right} }={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}}$

Sin los índices, es decir, "notación libre de índice", se conserva una barra superior en el espinor diestro, ya que surge una ambigüedad entre la quiralidad cuando no se indica ningún índice.

Índices con sombrero

Los índices que tienen sombreros se denominan índices de Dirac y son el conjunto de índices con puntos y sin puntos, o quirales y antiquirales. Por ejemplo, si

${\displaystyle \alpha =1,2\,,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}}$

Entonces un espinor en la base quiral se representa como

${\displaystyle \Sigma _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}}$

En esta notación, el adjunto de Dirac (también llamado conjugado de Dirac ) es

${\displaystyle \Sigma ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\chi ^{\alpha }&{\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

Véase también

• Ecuación de Dirac
• Símbolos de Infeld-Van der Waerden
• Transformación de Lorentz
• Ecuación de Pauli
• Cálculo de Ricci

Notas

1. Van der Waerden BL (1929). "Espinoranálisis". Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Matemáticas-Física . Ohne Angabe: 100-109.
2. Veblen O. (1933). "Geometría de espinores de dos componentes". Proc. Natl. Sci. USA . 19 (4): 462–474. Bibcode :1933PNAS...19..462V. doi : 10.1073/pnas.19.4.462 . PMC 1086023 . PMID  16577541. 

Referencias

• Espinores en física
• P. Labelle (2010), Supersimetría , serie Demystified, McGraw-Hill (Estados Unidos), ISBN 978-0-07-163641-4
• Hurley, DJ; Vandyck, MA (2000), Geometría, espinores y aplicaciones , Springer, ISBN 1-85233-223-9
• Penrose, R.; Rindler, W. (1984), Espinores y espacio-tiempo , vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-24527-3
• Budinich, P.; Trautman, A. (1988), El tablero de ajedrez espinorial , Springer-Verlag, ISBN 0-387-19078-3