Notación de Van der Waerden

Notación utilizada para los espinores de Weyl

En física teórica , la notación de Van der Waerden ^{[1] [2]} se refiere al uso de espinores de dos componentes ( espinores de Weyl ) en cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Esto es estándar en la teoría de twistores y la supersimetría . Lleva el nombre de Bartel Leendert van der Waerden .

Índices punteados

Índices sin puntos (índices quirales)

Los espinores con índices sin puntos más bajos tienen quiralidad zurda y se denominan índices quirales.

${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {left} }={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}}$

Índices punteados (índices antiquirales)

Los espinores con índices de puntos elevados, más una barra superior en el símbolo (no en el índice), son diestros y se denominan índices antiquirales.

${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {right} }={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}}$

Sin los índices, es decir, "notación libre de índices", se conserva una barra superior en el espinor diestro, ya que surge ambigüedad entre la quiralidad cuando no se indica ningún índice.

Índices sombreados

Los índices que tienen sombreros se denominan índices de Dirac y son el conjunto de índices con puntos y sin puntos, o quirales y antiquirales. Por ejemplo, si

${\displaystyle \alpha =1,2\,,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}}$

entonces un espinor en la base quiral se representa como

${\displaystyle \Sigma _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\psi _{\alpha }\\{\bar {\chi }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}}$

En esta notación, el adjunto de Dirac (también llamado conjugado de Dirac ) es

${\displaystyle \Sigma ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\chi ^{\alpha }&{\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

Ver también

• ecuación de dirac
• Símbolos de Infeld-Van der Waerden
• Transformación de Lorentz
• ecuación de pauli
• cálculo de ricci

Notas

1. Van der Waerden BL (1929). "Espinoranálisis". Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Matemáticas-Física . Ohne Angabe: 100-109.
2. Veblen O. (1933). "Geometría de espinores de dos componentes". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 19 (4): 462–474. Código bibliográfico : 1933PNAS...19..462V. doi : 10.1073/pnas.19.4.462 . PMC 1086023 . PMID  16577541. 

Referencias

• Espinores en física
• P. Labelle (2010), Supersimetría , Serie desmitificada, McGraw-Hill (EE.UU.), ISBN 978-0-07-163641-4
• Hurley, DJ; Vandyck, MA (2000), Geometría, espinores y aplicaciones , Springer, ISBN 1-85233-223-9
• Penrose, R.; Rindler, W. (1984), Spinors y el espacio-tiempo , vol. 1, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 0-521-24527-3
• Budinich, P.; Trautman, A. (1988), El tablero de ajedrez espinorial , Springer-Verlag, ISBN 0-387-19078-3