Código preparado

En teoría de codificación , los códigos Preparata forman una clase de códigos no lineales con doble corrección de errores . Su nombre se debe a Franco P. Preparata, quien los describió por primera vez en 1968.

Aunque no son lineales sobre GF(2), los códigos de Preparata son lineales sobre Z ₄ con la distancia de Lee .

Construcción

Sea m un número impar y . Primero describimos el código Preparata extendido de longitud : luego, el código Preparata se deriva eliminando una posición. Las palabras del código extendido se consideran pares ( X ,  Y ) de 2 ^m -tuplas, cada una correspondiente a subconjuntos del cuerpo finito GF(2 ^m ) de alguna manera fija. ${\displaystyle n=2^{m}-1}$ ${\displaystyle 2n+2=2^{m+1}}$

El código extendido contiene las palabras ( X ,  Y ) que satisfacen tres condiciones

1. X , Y tienen cada uno un peso par;
2. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x=\sum _{y\in Y}y;}$
3. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x^{3}+\left(\sum _{x\in X}x\right)^{3}=\sum _{y\in Y}y^{3}.}$

El código Preparata se obtiene eliminando la posición en X correspondiente a 0 en GF(2 ^m ).

Propiedades

El código Preparata tiene una longitud de 2 ^{m +1}  − 1, un tamaño de 2 ^k donde k = 2 ^{m  + 1}  − 2 m  − 2, y una distancia mínima de 5.

Cuando m = 3, el código Preparata de longitud 15 también se denomina código Nordstrom-Robinson .

Referencias

• FP Preparata (1968). "Una clase de códigos no lineales óptimos de corrección de doble error". Información y Control . 13 (4): 378–400. doi : 10.1016/S0019-9958(68)90874-7 . hdl : 2142/74662 .
• JH van Lint (1992). Introducción a la teoría de la codificación. GTM . Vol. 86 (2.ª ed.). Springer-Verlag. Págs. 111–113. ISBN. 3-540-54894-7.
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Preparata_code
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes