Teoría no lineal de los láseres semiconductores

Teoría láser no tradicional de los láseres semiconductores Fabry-Perot

La teoría láser de los láseres semiconductores Fabry-Perot (FP) resulta no lineal, ya que la ganancia [ ^{1] [2],} el índice de refracción ^[3] y el coeficiente de pérdida ^[4] son ​​funciones del flujo de energía . La teoría no lineal ^[2] permitió explicar una serie de experimentos algunos de los cuales ni siquiera podían explicarse (por ejemplo, el ancho de línea natural ), y mucho menos modelarse, sobre la base de otros modelos teóricos; esto sugiere que la teoría no lineal desarrollada es un nuevo paradigma de la teoría láser.

Ecuaciones en el medio de ganancia

Las ecuaciones de Maxwell describen el campo para un medio pasivo y no se pueden utilizar para describir el campo en láseres y amplificadores cuánticos . Se derivan ecuaciones fenomenológicas para el campo electromagnético en el medio de ganancia , es decir, las ecuaciones de Maxwell para el medio de ganancia y el teorema de Poynting para estas ecuaciones. ^{[1] [2] [5]} Las ecuaciones de Maxwell en el medio de ganancia se utilizan para obtener ecuaciones para el flujo de energía y para describir el efecto de fase no lineal. ^{[1] [2] [5]}

${\displaystyle (1)\quad rot{\vec {H}}=(\sigma -\eta ){\vec {E}}+{\partial {\vec {D}} \over \partial t},}$
Hemos definido η como un factor de ganancia específico; σ es la conductividad específica que describe pérdidas incoherentes (por ejemplo, en electrones libres). Las demás ecuaciones de Maxwell se utilizan sin cambios. El teorema de Poynting se deduce de (1)-(3):
${\displaystyle (2)\quad rot{\vec {E}}=-{\partial B \over \partial t},divD=0,divB=0,}$
${\displaystyle (3)\quad D=\epsilon '\epsilon _{0}E,B=\mu _{0}\mu H,}$

${\displaystyle (4)\quad \int _{V}\eta |E(\omega )|^{2}\,dv=\int _{V}\sigma |E(\omega )|^{2}\,dv+\oint _{S}(Sn)ds,}$

donde S es el vector de Poynting ; V=sz, 0 <z<L, donde s es la sección transversal (al eje z) del medio láser activo .
Las ecuaciones para el flujo de energía se derivan de (4): donde donde es el flujo de energía; es el área seccional de la zona activa del láser; es el factor de confinamiento; es el factor de absorción en la zona activa; es el factor de absorción fuera de la zona activa; son las pérdidas debidas a la dispersión incoherente ; es el factor de absorción de dos fotones; ^{[2] [4]} y ).
${\displaystyle (5)\quad {\frac {dI^{+}}{dz}}=(\Gamma g(I^{+})-\alpha (I^{+}))I^{+},}$
${\displaystyle (6)\quad {\frac {-dI^{-}}{dz}}=(\Gamma g(I^{-})-\alpha (I^{-}))I^{-},}$

${\displaystyle (7)\quad \alpha (I)=(1-\Gamma )\alpha _{out}+\Gamma \alpha _{in}+\alpha _{x}+\alpha _{2p}(I),}$
${\displaystyle I}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \alpha _{in}}$ ${\displaystyle \alpha _{out}}$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle \alpha _{2p}(I)}$ ${\displaystyle \alpha _{2p}(I)=\beta \cdot I}$

Fórmulas para la forma de línea y el ancho de línea natural

Se ha desarrollado la teoría del ancho de línea natural en los láseres semiconductores, de la cual se deduce que el índice de refracción n en los láseres FP ^{[3] [5]} y el índice de refracción efectivo n _ef en los láseres de retroalimentación distribuida (DFB) ^{[5] [6]} son ​​funciones de E: Se derivaron las fórmulas para la forma de línea en los láseres FP y DFB. Estas fórmulas para la forma de línea son similares y tienen la siguiente forma: donde es la frecuencia de generación del láser;
${\displaystyle (8)\quad n=n_{0}+n_{1}(\omega )E+n_{2}(\omega )E^{2},}$
${\displaystyle (9)\quad n=n_{ef}^{0}+n_{ef}^{1}E+n_{ef}^{2}E^{2},}$

${\displaystyle (10)\quad L(v)=2\int _{0}^{\infty }\cos(2\pi v\tau )exp(A_{pa}|\tau |-B\tau ^{2})d\tau ,}$
${\displaystyle v={\tfrac {\omega -\omega L}{2\pi }};\quad \omega L}$

${\displaystyle (11)\quad A_{pa}={\frac {D_{0}}{P}},\quad B=(D_{1}+D_{2}P^{(1/2)})^{2},}$
donde tienen forma diferente para los láseres FP y DFB ^{[2] [6] [7] [8]} . ^[9] Escribamos el ancho de línea natural Δν ^{[2] [8] [9]} donde es la función puente; ^{[2] [8] [9]} y son el ancho de línea característico y la potencia láser característica; k es el parámetro característico de la no linealidad del láser; q es la potencia inversa adimensional: ${\displaystyle D_{0},D_{1},andD_{2}}$
${\displaystyle (12)\quad \Delta v=\Delta v^{(c)}T\left(\left(mW\right){\frac {A_{pa}}{P}}+B\right)F_{N}\left({\frac {P^{(c)}}{P}},k\right),}$
${\displaystyle T\left(\left(mW\right){\frac {A_{pa}}{P}}+B\right)}$ ${\displaystyle \Delta v^{(c)}}$ ${\displaystyle P^{(c)}}$

${\displaystyle (13)\quad F_{N}(q,k)=1/\int _{0}^{\infty }exp(-xq-x^{2}(k/q^{1/2}-1)^{2})dx}$

La teoría del ancho de línea natural en los láseres semiconductores tiene una importancia independiente. Al mismo tiempo, la teoría desarrollada es una parte integral de la teoría no lineal de los láseres, y sus conceptos y los parámetros característicos introducidos se utilizan en todas las partes de la teoría no lineal.

Ganancia en un láser semiconductor

Utilizando las ecuaciones de la matriz de densidad con relajación, se han realizado las siguientes derivaciones: coeficiente espectral de Einstein en un láser semiconductor y, en consecuencia, coeficiente de Einstein ; ^{[1] [2] [10]} se derivó la fórmula para el efecto de saturación en un láser semiconductor; se demostró que el efecto de saturación en un láser semiconductor es pequeño. ^{[1] [2]} Se ha derivado la ganancia en un láser semiconductor utilizando las ecuaciones de la matriz de densidad con relajación. ^{[1] [2]} Se ha descubierto que la ganancia del láser Fabry-Perot depende del flujo de energía, y esto determina el 'efecto no lineal básico' en un láser semiconductor

${\displaystyle (14)\quad g=g(I)=R\Delta \omega _{e}/(1-I(\delta \Delta \omega _{e}/\delta I)/\Delta \omega _{e}),}$

dónde
${\displaystyle (15)\quad R=(\hbar \omega n_{g}/c)B_{21}(f_{2}-f_{1})S_{P}(\omega ).}$

donde es el coeficiente de Einstein para la transición inducida entre los dos niveles de energía cuando se expone a una onda de banda estrecha se escribe de la siguiente forma: ^{[2] [10]} donde es el ancho de línea natural efectivo; es el flujo de energía; es la densidad espectral de las transiciones. ${\displaystyle B_{21}}$
${\displaystyle (16)\quad B_{21}=({\hat {H}}_{21}/\hbar )^{2}/(2\Gamma _{0})}$ ${\displaystyle \Delta \omega _{e}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S_{P}(\omega )}$

Condición necesaria para la radiación inducida de primer tipo

Las condiciones necesarias para la radiación inducida de primer y segundo tipo se han definido en ^{[1] [2]} . Las condiciones necesarias para la radiación inducida están determinadas por el requisito de que la ganancia sea mayor que cero. La condición necesaria para la radiación inducida de primer tipo formulada por Bernard y Duraffourg ^{[2] [11]} es que la población de niveles ubicados por encima sea mayor que la población de niveles ubicados por debajo.

${\displaystyle (17)\quad f_{2}(E_{2})>f_{1}(E_{1}).}$

Condición necesaria para la radiación inducida del segundo tipo

La condición necesaria de la radiación inducida de segundo tipo formulada por Noppe ^{[1] [2]} es que:

${\displaystyle (18)\quad \Delta \omega _{e}/(1-I(\delta \Delta \omega _{e}/\delta I)/\Delta \omega _{e})>0.}$

Figura 1. Funciones y flujo de energía I para dos conjuntos de parámetros característicos. ^{[1] [2]} ${\displaystyle g_{1}(I)}$ ${\displaystyle g_{2}(I)}$

La condición necesaria de radiación inducida de segundo tipo permite formular la restricción básica de la capacidad del láser, ^{[1] [2]} que ha sido confirmada experimentalmente:

${\displaystyle (19)\quad I<I(M),}$

donde es el flujo de energía; es el parámetro característico de la potencia máxima. La figura 1 muestra la función para dos conjuntos de parámetros característicos. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I(M)}$ ${\displaystyle g(I)}$

Simulación de experimentos

4.1. Las ecuaciones de Maxwell en el medio de ganancia se utilizan para obtener ecuaciones para el flujo de energía. ^{[1] [2] [5]} Se ha descrito y simulado el efecto de fase no lineal, ^{[1] [2]} utilizando la no linealidad del índice de refracción. ^[3] (ver Fig.3).

4.2. Con base en la teoría desarrollada, se han simulado las características de salida experimentales: ancho de línea natural (ver simulación en, ^{[2] [6]} ) (ver Fig.2), características experimentales de vatios - amperios ^{[1] [2] [11]} (ver Fig.4) y dependencia de la longitud de línea de radiación de salida experimental en la corriente en láseres de inyección de semiconductores Fabry-Perot, ^{[1] [2]} (ver Fig.3), así como el ancho de línea en láseres DFB (ver simulación en, ^{[7] [8]} ). La teoría creada permite simular la mayoría de los experimentos publicados sobre la medición del ancho de línea natural en láseres Fabry-Perot y láseres DFB de retroalimentación distribuida ^{[2] [6] [7] [8] [9] [12]} con ayuda de dos métodos (utilizando (13) y (15)). Con base en la fórmula derivada para la forma de la línea, ^{[2] [6]} se han simulado 12 experimentos sobre la medición del ancho de línea natural en láseres Fabry-Perot (por ejemplo, consulte la Fig. 2) y 15 experimentos en láseres DFB ^{[2] [9] . Con base en la fórmula derivada para el ancho de línea natural, [2] [6] [8]} se han simulado 15 experimentos sobre la medición del ancho de línea natural en láseres Fabry-Perot ^{[2] [6]} y 15 experimentos en láseres DFB ^{[2] [9]} . La fórmula derivada para la forma de línea de radiación (de láseres FP ^{[2] [6] [12]} y láseres DFB ^{[2] [7]} ) se distingue de la fórmula de línea de Lorentz.

4.3. Con base en la teoría desarrollada, se han simulado características de salida experimentales: ancho de línea natural (ver simulación en, ^{[5] [7]} ), características experimentales de vatios-amperios ^[10] (ver Fig.4), y dependencia de la longitud de línea de radiación de salida experimental en la corriente en láseres de inyección de semiconductores Fabry-Perot ^[13] (ver Fig.3), así como ancho de línea en láseres DFB (ver simulación en, ^{[2] [9]} ).

4.4. Con base en la teoría no lineal, se han hecho recomendaciones para el desarrollo de láseres con ancho de línea natural más pequeño y láseres con mayor potencia de salida. ^{[1] [2]}

Figura 2. Simulación de la curva experimental ^{[2] [14]} del ancho de línea natural de los láseres semiconductores Fabry-Perot en función de la potencia de salida inversa Δν _e (1/P ) (Ke=14) mediante la curva teórica Δνe(1/P ) ^{[2] [6]} (K _t =14).

Figura 3. Desplazamiento de la longitud de onda Δλ (teórico ^{[1] [2]} y experimental ^{[1] [2] [15]} ) frente a la corriente normalizada (J/Jth)

Figura 4. Potencia de salida experimental ^[11] y teórica ^{[1] [2]} en función de la corriente para un láser potente.

Conclusión

Con base en la solución de las ecuaciones de la matriz de densidad, se ha derivado el coeficiente de Einstein para la transición inducida; se ha demostrado que el efecto de saturación es pequeño para los láseres semiconductores. ^{[1] [2]} Se ha derivado la fórmula de ganancia en función del flujo de energía; es el efecto no lineal básico en un láser. Se ha establecido que el efecto principal que resulta en la no linealidad es el efecto de saturación. ^{[1] [2]} Para los láseres semiconductores, el efecto de saturación es insignificante. Derivamos la ganancia g para un láser semiconductor Fabry-Perot con base en las ecuaciones de la matriz de densidad y expresiones para el ancho de línea natural. ^{[1] [2]} Por lo tanto, la teoría del ancho de línea ^{[2] [8] [9]} es una parte integral de la teoría no lineal. La dependencia resultante de g en el flujo de energía se ha llamado el principal efecto no lineal en los láseres semiconductores; ^{[1] [2]} La derivación de esta fórmula de relación se presenta en. ^{[1] [2]} Se han simulado el cambio de longitud de onda experimental frente a la corriente normalizada (J/Jth) y la potencia de salida frente a la corriente para un láser de alta potencia con un pozo cuántico de semiconductor intrínseco. Se ha tenido en cuenta la ampliación de la densidad de estados debido a diferentes efectos. La teoría no lineal hizo posible explicar una serie de experimentos, algunos de los cuales ni siquiera podían explicarse (por ejemplo, el ancho de línea natural), y mucho menos modelarse, sobre la base de otros modelos teóricos; esto sugiere que la teoría no lineal desarrollada es un nuevo paradigma de la teoría láser. Debido al desarrollo de la teoría no lineal, se pueden dar recomendaciones para crear láseres con un ancho de línea natural más pequeño y láseres con mayor potencia de salida.

Referencias

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2. Noppe MG “Fundamentos de la teoría no lineal para láseres semiconductores” (Editorial SB RAS, 2016. Novosibirsk, 2016). (Para adquirir una monografía, utilice el siguiente enlace: “Fundamentos de la teoría no lineal para láseres semiconductores”)
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15. Ito M, Kimura T 1980 IEEE J. QE 16 910